Presentación gratuita

En álgebra , una presentación libre de un módulo M sobre un anillo conmutativo R es una sucesión exacta de R -módulos:

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}R\ {\overset {f}{\to }}\ \bigoplus _{j\in J}R\ {\overset {g}{\to }}\ M\to 0.}$

Nótese que la imagen bajo g de la base estándar genera M. En particular, si J es finito , entonces M es un módulo finitamente generado . Si I y J son conjuntos finitos, entonces la presentación se llama presentación finita ; un módulo se llama finitamente presentado si admite una presentación finita.

Dado que f es un homomorfismo de módulos entre módulos libres , puede visualizarse como una matriz (infinita) con entradas en R y M como su conúcleo .

Siempre existe una presentación gratuita: cualquier módulo es un cociente de un módulo gratuito:${\displaystyle F\ {\overset {g}{\to }}\ M\to 0}$, pero entonces el núcleo de g es de nuevo un cociente de un módulo libre:${\displaystyle F'\ {\overset {f}{\to }}\ \ker g\to 0}$La combinación de f y g es una presentación libre de M. Ahora bien, es evidente que se pueden seguir "resolviendo" los núcleos de esta manera; el resultado se denomina resolución libre . Por lo tanto, una presentación libre es la primera parte de la resolución libre.

Una presentación es útil para el cálculo. Por ejemplo, dado que la tensorialización es exacta por la derecha , al tensorializar la presentación anterior con un módulo, digamos N , se obtiene:

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}N\ {\overset {f\otimes 1}{\to }}\ \bigoplus _{j\in J}N\to M\otimes _{R}N\to 0.}$

Esto dice que${\displaystyle M\otimes _{R}N}$es el co-núcleo de${\displaystyle f\otimes 1}$. Si N es también un anillo (y por lo tanto un R -álgebra ), entonces esta es la presentación del N -módulo.${\displaystyle M\otimes _{R}N}$; es decir, la presentación se extiende bajo la extensión base.

Para functores exactos por la izquierda , existe, por ejemplo,

Demostración: Aplicando F a una presentación finita${\displaystyle R^{\oplus n}\to R^{\oplus m}\to M\to 0}$resultados en

${\displaystyle 0\to F(M)\to F(R^{\oplus m})\to F(R^{\oplus n}).}$

Esto se puede extender fácilmente a

${\displaystyle 0\to 0\to F(M)\to F(R^{\oplus m})\to F(R^{\oplus n}).}$

Lo mismo se aplica a${\displaystyle G}$. Ahora aplica el lema de los cinco .${\displaystyle \square }$

• Módulo coherente
• Módulo relacionado de forma finita
• Ideal para encajar
• haz cuasi coherente

• Eisenbud, David , Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.