Número afortunado

En teoría de números , un número afortunado , llamado así por Reo Fortune , es el entero más pequeño m > 1 tal que, para un entero positivo dado n , p _n # + m es un número primo , donde el primordio p _n # es el producto de los primeros n números primos.

Por ejemplo, para hallar el séptimo número de la fortuna, primero se calcula el producto de los primeros siete números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17), que es 510510. Si se le suma 2, se obtiene otro número par, mientras que si se le suma 3, se obtiene otro múltiplo de 3. De forma similar, se descartan los números enteros hasta el 18. Sin embargo, si se le suma 19, se obtiene 510529, que es primo. Por lo tanto, 19 es un número de la fortuna.

Los números afortunados para los primeros primordios son:

3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 37, 61, 67, 61, 71, 47, 107, 59, 61, 109, 89, 103, 79, 151, 197, ... (secuencia A005235 en el OEIS ) .

Los números de la suerte ordenados numéricamente, sin duplicados:

3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 89, 101, 103, 107, 109, 127, 151, 157, 163, 167, 191, 197, 199, ... (secuencia A046066 en el OEIS ) .

Fortune conjeturó que ningún número de la fortuna es compuesto ( conjetura de Fortune ). ^{[ 1 ]} Un primo de la fortuna es un número de la fortuna que también es un número primo. A partir de 2017Todos los números afortunados conocidos son primos, comprobado hasta n=3000.

El número de la fortuna para p _n # siempre es mayor que p _n y todos sus divisores son mayores que p _n . Esto se debe a que p _n # + m es divisible por los factores primos de m que no son mayores que p _n . De ello se deduce que si existe un número de la fortuna compuesto, debe ser mayor o igual que p _n+1 ² . ^{[ 2 ]}

Paul Carpenter define los números menos afortunados como las diferencias entre p _n # y el primo más grande menor que p _n # -1. También se conjetura que estos son siempre primos. ^{[ 2 ]}

• Weisstein, Eric W. "Prime afortunado" . MundoMatemático .