Mapa formalmente liso

En geometría algebraica y álgebra conmutativa , un homomorfismo de anillo se denomina formalmente suave (del francés : Formellement lisse ) si satisface la siguiente propiedad de elevación infinitesimal : ${\displaystyle f:A\to B}$

Supóngase que a B se le da la estructura de un A -álgebra mediante la función f . Dada una A -álgebra conmutativa , C , y un ideal nilpotente , cualquier homomorfismo de A -álgebra puede ser elevado a una función de A -álgebra . Si además cualquier elevación de este tipo es única, entonces se dice que f es formalmente étale . ^{[1] [2]} ${\displaystyle N\subseteq C}$${\displaystyle B\to C/N}$${\displaystyle B\to C}$

Los mapas formalmente suaves fueron definidos por Alexander Grothendieck en Éléments de géométrie algébrique IV.

Para morfismos presentados finitamente, la suavidad formal es equivalente a la noción usual de suavidad.

Todos los morfismos suaves son equivalentes a morfismos locales de presentación finita que son formalmente suaves. Por lo tanto, la suavidad formal es una leve generalización de los morfismos suaves. ^[3]${\displaystyle f:X\to S}$

Un método para detectar la suavidad formal de un esquema es utilizar el criterio de elevación infinitesimal. Por ejemplo, utilizando el morfismo de truncamiento, el criterio de elevación infinitesimal se puede describir utilizando el cuadrado conmutativo${\displaystyle k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{3})\to k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\leftarrow &{\text{Espec}}\left({\frac {k[\varepsilon ]}{(\varepsilon ^{2})}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\S&\leftarrow &{\text{Espec}}\left({\frac {k[\varepsilon ]}{(\varepsilon ^{3})}}\right)\end{matrix}}}$

donde . Por ejemplo, si${\displaystyle X,S\en Sch/S}$

${\displaystyle X={\text{Espec}}\left({\frac {k[x,y]}{(xy)}}\right)}$y${\displaystyle Y={\text{Espec.}}(k)}$

Entonces considere el vector tangente en el origen dado por el morfismo del anillo${\displaystyle (0,0)\en X(k)}$

${\displaystyle {\frac {k[x,y]}{(xy)}}\to {\frac {k[\varepsilon ]}{(\varepsilon ^{2})}}}$

envío

${\displaystyle {\begin{aligned}x&\mapsto \varepsilon \\y&\mapsto \varepsilon \end{aligned}}}$

Nótese que , dado que este es un morfismo válido de anillos conmutativos, dado que un levantamiento de este morfismo a${\displaystyle xy\mapsto \varepsilon ^{2}=0}$

${\displaystyle {\text{Especificación}}\left({\frac {k[\varepsilon ]}{(\varepsilon ^{3})}}\right)\to X}$

es de la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}x&\mapsto \varepsilon +a\varepsilon ^{2}\\y&\mapsto \varepsilon +b\varepsilon ^{2}\end{aligned}}}$

y no puede haber una elevación infinitesimal ya que esta no es cero, por lo tanto no es formalmente suave. Esto también prueba que este morfismo no es suave a partir de la equivalencia entre morfismos formalmente suaves localmente de presentación finita y morfismos suaves. ${\displaystyle xy\mapsto \varepsilon ^{2}+(a+b)\varepsilon ^{3}=\varepsilon ^{2}}$${\displaystyle X\in Sch/k}$

• Número dual
• Morfismo suave
• Teoría de la deformación

• Formalmente suave con fibras suaves, pero no liso https://mathoverflow.net/q/333596
• Formalmente suave pero no liso https://mathoverflow.net/q/195