Radio de llenado

En geometría riemanniana , el radio de llenado de una variedad riemanniana X es un invariante métrico de X. Fue introducido originalmente en 1983 por Mikhail Gromov , quien lo utilizó para demostrar su desigualdad sistólica para variedades esenciales , generalizando enormemente la desigualdad del toro de Loewner y la desigualdad de Pu para el plano proyectivo real , y creando la geometría sistólica en su forma moderna.

El radio de llenado de un bucle simple C en el plano se define como el radio más grande, R  >  0, de un círculo que cabe dentro de C : 

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (C\subset \mathbb {R} ^{2})=R.}$

Hay una especie de punto de vista dual que permite generalizar esta noción de una manera extremadamente fructífera, como lo demuestra Gromov. A saber, consideramos el${\displaystyle \varepsilon }$-vecindarios del bucle C , denotados

${\displaystyle U_{\varepsilon }C\subset \mathbb {R} ^{2}.}$

Como${\displaystyle \varepsilon >0}$aumenta, el${\displaystyle \varepsilon }$-vecindario${\displaystyle U_{\varepsilon }C}$engulle cada vez más del interior del bucle. El último punto en ser engullido es precisamente el centro del círculo inscrito más grande. Por lo tanto, podemos reformular la definición anterior definiendo ${\displaystyle \mathrm {FillRad} (C\subset \mathbb {R} ^{2})}$ser el ínfimo de${\displaystyle \varepsilon >0}$de tal manera que el bucle C se contrae a un punto en${\displaystyle U_{\varepsilon }C}$.

Dada una variedad compacta X incrustada en, digamos, el espacio euclidiano E , podríamos definir el radio de llenado relativo a la incrustación, minimizando el tamaño del vecindario.${\displaystyle U_{\varepsilon }X\subset E}$en la que X podría ser homótopo a algo de menor dimensión, por ejemplo, a un poliedro de menor dimensión. Técnicamente, es más conveniente trabajar con una definición homológica.

Denotemos por A el anillo de coeficientes.${\displaystyle \mathbb {Z} }$o${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$, dependiendo de si X es orientable o no. Entonces, la clase fundamental , denotada [X] , de una variedad compacta n- dimensional X , es un generador del grupo de homología${\displaystyle H_{n}(X;A)\simeq A}$y establecimos

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (X\subset E)=\inf \left\{\varepsilon >0\mid \iota _{\varepsilon }([X])=0\in H_{n}(U_{\varepsilon }X)\right\},}$

dónde${\displaystyle \iota _{\varepsilon }}$es el homomorfismo de inclusión.

Para definir un radio de llenado absoluto en una situación donde X está equipado con una métrica riemanniana g , Gromov procede de la siguiente manera. Se aprovecha la incrustación de Kuratowski . Se incrusta X en el espacio de Banach.${\displaystyle L^{\infty }(X)}$de funciones de Borel acotadas en X , equipadas con la norma del supremo${\displaystyle \|\cdot \|}$. Es decir, trazamos un punto${\displaystyle x\in X}$a la función${\displaystyle f_{x}\in L^{\infty }(X)}$definido por la fórmula${\displaystyle f_{x}(y)=d(x,y)}$ a pesar de${\displaystyle y\in X}$, donde d es la función de distancia definida por la métrica. Por la desigualdad triangular tenemos${\displaystyle d(x,y)=\|f_{x}-f_{y}\|,}$y por lo tanto la incrustación es fuertemente isométrica, en el sentido preciso de que la distancia interna y la distancia ambiental coinciden. Una incrustación tan fuertemente isométrica es imposible si el espacio ambiental es un espacio de Hilbert, incluso cuando X es el círculo riemanniano (¡la distancia entre puntos opuestos debe ser π , no 2!). Entonces establecemos${\displaystyle E=L^{\infty }(X)}$en la fórmula anterior, y definir

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (X)=\mathrm {FillRad} \left(X\subset L^{\infty }(X)\right).}$

• El radio de llenado es como máximo un tercio del diámetro (Katz, 1983).
• El radio de llenado del espacio proyectivo real con una métrica de curvatura constante es un tercio de su diámetro riemanniano (véase Katz, 1983). De forma equivalente, el radio de llenado es un sexto de la sístole en estos casos.
• El radio de llenado del círculo riemanniano de longitud 2π, es decir, el círculo unitario con la función de distancia riemanniana inducida, es igual a π/3, o sea, un sexto de su longitud. Esto se deduce al combinar el límite superior del diámetro mencionado anteriormente con el límite inferior de Gromov en términos de la sístole (Gromov, 1983).
• La sístole de una variedad esencial M es como máximo seis veces su radio de llenado, véase (Gromov, 1983).
  • La desigualdad es óptima en el sentido de que el caso límite de igualdad se alcanza mediante los espacios proyectivos reales como se indicó anteriormente.
• El radio de inyectividad de la variedad compacta proporciona un límite inferior para el radio de llenado. Es decir,

  ${\displaystyle \mathrm {FillRad} M\geq {\frac {\mathrm {InjRad} M}{2(\dim M+2)}}.}$

• Conjetura sobre el área de llenado
• Desigualdad sistólica de Gromov para variedades esenciales

• Gromov, M.: Llenado de variedades riemannianas, Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1–147.
• Katz, M.: El radio de llenado de espacios homogéneos de dos puntos. Journal of Differential Geometry 18, Número 3 (1983), 505–511.
• Katz, Mikhail G. (2007), Geometría y topología sistólica , Mathematical Surveys and Monographs, vol.  137, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4177-8, OCLC 77716978