Teorema de Favard

En matemáticas, el teorema de Favard , también llamado teorema de Shohat-Favard , establece que una sucesión de polinomios que satisface una relación de recurrencia de tres términos adecuada es una sucesión de polinomios ortogonales . El teorema fue introducido en la teoría de polinomios ortogonales por Favard ( 1935 ) y Shohat (1938) , aunque esencialmente el mismo teorema fue utilizado por Stieltjes en la teoría de fracciones continuas muchos años antes del trabajo de Favard, y fue redescubierto varias veces por otros autores antes del trabajo de Favard. 

Supongamos que ${\displaystyle \{y_{0},y_{1},\dots \}}$es una secuencia de polinomios, donde${\displaystyle y_{n}}$tiene título${\displaystyle n}$y${\displaystyle y_{0}=1}$Si se trata de una secuencia de polinomios ortogonales para alguna función de peso positiva, entonces satisface una relación de recurrencia de tres términos. El teorema de Favard es aproximadamente un recíproco de esto, y establece que si estos polinomios satisfacen una relación de recurrencia de tres términos de la forma

${\ Displaystyle y_ {n + 1} = (x-c_ {n}) y_ {n} -d_ {n} y_ {n-1}}$

para algunos números${\displaystyle c_{n}}$y${\displaystyle d_{n}}$, entonces los polinomios${\displaystyle y_{n}}$formar una secuencia ortogonal para algún funcional lineal${\displaystyle \Lambda }$con${\displaystyle \Lambda (1)=1}$; en otras palabras${\displaystyle \Lambda (y_{m}y_{n})=0}$si${\displaystyle m\neq n}$.

La función lineal${\displaystyle \Lambda }$es único y es dado por${\displaystyle \Lambda (1)=1}$,${\displaystyle \Lambda (y_{n})=0}$si${\displaystyle n>0}$.

El funcional${\displaystyle \Lambda }$Satisface ${\displaystyle \Lambda (y_{n}^{2})=d_{n}\,\Lambda (y_{n-1}^{2})}$, lo que implica que ${\displaystyle \Lambda }$es definida positiva si (y solo si) los números${\displaystyle c_{n}}$son reales y los números${\displaystyle d_{n}}$son positivos.

• Operador Jacobi
• James Alexander Shohat
• Jean Favard

• Chihara, Theodore Seio (1978), Introducción a los polinomios ortogonales , Matemáticas y sus aplicaciones, vol.  13, Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers, ISBN 978-0-677-04150-6, MR 0481884 Reimpreso por Dover 2011, ISBN 978-0-486-47929-3
• Favard, J. (1935), "Sur les polynomes de Tchebicheff". , CR Acad. Ciencia. París (en francés), 200 : 2052–2053 , JFM 61.0288.01 
• Rahman, QI; Schmeisser, G. (2002), Teoría analítica de los polinomios , Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Nueva serie, vol.  26, Oxford: Oxford University Press , pp. 15–16 , ISBN  0-19-853493-0, Zbl 1072.30006 
• Subbotin, Yu. N. (2001) [1994], "Teorema de Favard" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Shohat, J. (1938), "Sur les polynômes orthogonaux généralises.", CR Acad. Ciencia. París (en francés), 207 : 556– 558, Zbl 0019.40503