álgebra de factorización

Un álgebra de factorización es un álgebra de prefactorización que satisface algunas propiedades, de forma similar a como los haces son prehaces con condiciones adicionales.

Si${\displaystyle M}$es un espacio topológico , un álgebra de prefactorización${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de espacios vectoriales en${\displaystyle M}$es una asignación de espacios vectoriales${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$para abrir conjuntos${\displaystyle U}$de${\displaystyle M}$, junto con las siguientes condiciones en la asignación:

• Por cada inclusión${\displaystyle U\subset V}$, hay un mapa lineal${\displaystyle m_{V}^{U}:{\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(V)}$
• Hay un mapa lineal${\displaystyle m_{V}^{U_{1},\cdots ,U_{n}}:{\mathcal {F}}(U_{1})\otimes \cdots \otimes {\mathcal {F}}(U_{n})\rightarrow {\mathcal {F}}(V)}$para cada colección finita de conjuntos abiertos con cada${\displaystyle U_{i}\subconjunto V}$y el${\displaystyle U_{i}}$disjuntos por pares.
• Los mapas se componen de la manera obvia: para colecciones de abiertos${\displaystyle U_{i,j}}$,${\displaystyle V_{i}}$y un abierto${\displaystyle W}$satisfactorio${\displaystyle U_{i,1}\sqcup \cdots \sqcup U_{i,n_{i}}\subset V_{i}}$y${\displaystyle V_{1}\sqcup \cdots V_{n}\subset W}$, el siguiente diagrama conmuta.

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}&\bigotimes _{i}\bigotimes _{j}{\mathcal {F}}(U_{i,j})&\rightarrow &\bigotimes _{i}{\mathcal {F}}(V_{i})&\\&\downarrow &\swarrow &\\&{\mathcal {F}}(W)&&&\\\end{array}}}$

Entonces${\displaystyle {\mathcal {F}}}$se asemeja a un precohaz , excepto que los espacios vectoriales son tensoriales en lugar de sumarse (directamente) .

La categoría de espacios vectoriales puede ser reemplazada por cualquier categoría monoidal simétrica .

Para definir álgebras de factorización, es necesario definir una cubierta de Weiss . Para${\displaystyle U}$un conjunto abierto, una colección de aperturas${\displaystyle {\mathfrak {U}}=\{U_{i}|i\in I\}}$es una versión de Weiss de${\displaystyle U}$si para cualquier colección finita de puntos${\displaystyle \{x_{1},\cdots ,x_{k}\}}$en${\displaystyle U}$, hay un conjunto abierto${\displaystyle U_{i}\in {\mathfrak {U}}}$de tal manera que${\displaystyle \{x_{1},\cdots ,x_{k}\}\subset U_{i}}$.

Luego, un álgebra de factorización de espacios vectoriales en${\displaystyle M}$es un álgebra de prefactorización de espacios vectoriales en${\displaystyle M}$de modo que para cada abierto${\displaystyle U}$y todas las portadas de Weiss${\displaystyle \{U_{i}|i\in I\}}$de${\displaystyle U}$, la secuencia $${\displaystyle \bigoplus _{i,j}{\mathcal {F}}(U_{i}\cap U_{j})\rightarrow \bigoplus _{k}{\mathcal {F}}(U_{k})\rightarrow {\mathcal {F}}(U)\rightarrow 0}$$ es exacto . Es decir,${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un álgebra de factorización si es un cohaz con respecto a la topología de Weiss.

Un álgebra de factorización es multiplicativa si, además, para cada par de conjuntos abiertos disjuntos,${\displaystyle U,V\subset M}$, el mapa de estructura $${\displaystyle m_{U\sqcup V}^{U,V}:{\mathcal {F}}(U)\otimes {\mathcal {F}}(V)\rightarrow {\mathcal {F}}(U\sqcup V)}$$ es un isomorfismo.

Si bien esta formulación está relacionada con la anterior, la relación no es inmediata.

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​una curva compleja suave . Un álgebra de factorización en${\displaystyle X}$consta de

• Un haz cuasi-coherente${\displaystyle {\mathcal {V}}_{X,I}}$encima${\displaystyle X^{I}}$para cualquier conjunto finito${\displaystyle I}$, sin que se admita ninguna sección local distinta de cero en la unión de todas las diagonales parciales
• Isomorfismos functoriales de haces cuasicoherentes${\displaystyle \Delta _{J/I}^{*}{\mathcal {V}}_{X,J}\rightarrow {\mathcal {V}}_{X,I}}$encima${\displaystyle X^{I}}$para sobreyecciones${\displaystyle J\rightarrow I}$.
• ( Factorización ) Isomorfismos functoriales de haces cuasicoherentes

$${\displaystyle j_{J/I}^{*}{\mathcal {V}}_{X,J}\rightarrow j_{J/I}^{*}(\boxtimes _{i\in I}{\mathcal {V}}_{X,p^{-1}(i)})}$$encima${\displaystyle U^{J/I}}$.

• ( Unidad ) Sea${\displaystyle {\mathcal {V}}={\mathcal {V}}_{X,\{1\}}}$y${\displaystyle {\mathcal {V}}_{2}={\mathcal {V}}_{X,\{1,2\}}}$. Una sección global (la unidad )${\displaystyle 1\in {\mathcal {V}}(X)}$con la propiedad que para cada sección local${\displaystyle f\in {\mathcal {V}}(U)}$(${\displaystyle U\subset X}$), la sección${\displaystyle 1\boxtimes f}$de${\displaystyle {\mathcal {V}}_{2}|_{U^{2}\Delta }}$se extiende a lo largo de la diagonal y se restringe a${\displaystyle f\in {\mathcal {V}}\cong {\mathcal {V}}_{2}|_{\Delta }}$.

Cualquier álgebra asociativa${\displaystyle A}$puede realizarse como un álgebra de prefactorización${\displaystyle A^{f}}$en${\displaystyle \mathbb {R} }$. A cada intervalo abierto${\displaystyle (a,b)}$, asignar${\displaystyle A^{f}((a,b))=A}$Un intervalo abierto arbitrario es una unión disjunta de una cantidad numerable de intervalos abiertos,${\displaystyle U=\bigsqcup _{i}I_{i}}$y luego configurar${\displaystyle A^{f}(U)=\bigotimes _{i}A}$. Los mapas de estructura simplemente provienen del mapa de multiplicación en${\displaystyle A}$Se requiere cierta precaución con los productos tensoriales infinitos, pero para un número finito de intervalos abiertos la situación es sencilla.