Prueba F

La prueba F es sensible a la falta de normalidad . ^{[ 3 ] [ 4 ]} En el análisis de varianza (ANOVA), las pruebas alternativas incluyen la prueba de Levene , la prueba de Bartlett y la prueba de Brown-Forsythe . Sin embargo, cuando se realiza cualquiera de estas pruebas para comprobar el supuesto subyacente de homocedasticidad ( es decir, homogeneidad de la varianza), como paso preliminar para comprobar los efectos de la media, se produce un aumento en la tasa de error de tipo I del experimento . ^{[ 5 ]}

La fórmula para el estadístico F de la prueba ANOVA unidireccional es

${\displaystyle F={\frac {\text{varianza explicada}}{\text{varianza no explicada}}},}$

o

${\displaystyle F={\frac {\text{variabilidad entre grupos}}{\text{variabilidad dentro de los grupos}}}.}$

La "varianza explicada" o "variabilidad entre grupos" es

${\displaystyle \sum _{i=1}^{K}n_{i}({\bar {Y}}_{i\cdot }-{\bar {Y}})^{2}/(K-1)}$

dónde${\displaystyle {\bar {Y}}_{i\cdot }}$denota la media muestral en el i -ésimo grupo,${\displaystyle n_{i}}$es el número de observaciones en el i -ésimo grupo,${\displaystyle {\bar {Y}}}$denota la media general de los datos, y${\displaystyle K}$indica el número de grupos.

La "varianza no explicada" o "variabilidad intragrupal" es

${\displaystyle \sum _{i=1}^{K}\sum _{j=1}^{n_{i}}\left(Y_{ij}-{\bar {Y}}_{i\cdot }\right)^{2}/(NK),}$

dónde${\displaystyle Y_{ij}}$es la j ^-ésima observación en la i- ^ésima de${\displaystyle K}$grupos y${\displaystyle N}$es el tamaño total de la muestra. Este estadístico F sigue la distribución F con grados de libertad${\displaystyle d_{1}=K-1}$y${\displaystyle d_{2}=NK}$bajo la hipótesis nula. El estadístico será grande si la variabilidad entre grupos es grande en relación con la variabilidad dentro de los grupos, lo cual es improbable que ocurra si las medias poblacionales de todos los grupos tienen el mismo valor.

El resultado de la prueba F se determina comparando el valor F calculado con el valor F crítico para un nivel de significancia específico (p. ej., 5%). La tabla F sirve como guía de referencia, ya que contiene los valores F críticos para la distribución del estadístico F bajo el supuesto de una hipótesis nula verdadera. Está diseñada para ayudar a determinar el umbral a partir del cual se espera que el estadístico F supere un porcentaje controlado de las veces (p. ej., 5%) cuando la hipótesis nula es correcta. Para localizar el valor F crítico en la tabla F , es necesario utilizar los grados de libertad correspondientes. Esto implica identificar la fila y la columna apropiadas en la tabla F que corresponden al nivel de significancia que se está probando (p. ej., 5%). ^{[ 6 ]}

Cómo utilizar los valores críticos de F :

Si el estadístico F < el valor crítico de F

• No se rechaza la hipótesis nula
• Rechazar la hipótesis alternativa
• No existen diferencias significativas entre los promedios de las muestras.
• Las diferencias observadas entre los promedios de las muestras podrían deberse razonablemente al azar.
• El resultado no es estadísticamente significativo.

Si el estadístico F > el valor crítico de F

• Aceptar la hipótesis alternativa
• Rechazar la hipótesis nula
• Existen diferencias significativas entre los promedios de las muestras.
• Las diferencias observadas entre los promedios de las muestras no podrían ser causadas razonablemente por el azar.
• El resultado es estadísticamente significativo.

Tenga en cuenta que cuando solo hay dos grupos para la prueba F del ANOVA unidireccional ,${\displaystyle F=t^{2}}$donde t es el Estudiante${\displaystyle t}$estadística .

La prueba F en el análisis de varianza unidireccional ( ANOVA ) se utiliza para evaluar si los valores esperados de una variable cuantitativa dentro de varios grupos predefinidos difieren entre sí. Por ejemplo, supongamos que un ensayo clínico compara cuatro tratamientos. La prueba F de ANOVA se puede utilizar para evaluar si alguno de los tratamientos es, en promedio, superior o inferior a los demás, en comparación con la hipótesis nula de que los cuatro tratamientos producen la misma respuesta media. Este es un ejemplo de una prueba "ómnibus", lo que significa que se realiza una sola prueba para detectar cualquiera de varias diferencias posibles. Alternativamente, podríamos realizar pruebas por pares entre los tratamientos (por ejemplo, en el ejemplo del ensayo clínico con cuatro tratamientos, podríamos realizar seis pruebas entre pares de tratamientos). La ventaja de la prueba F de ANOVA es que no necesitamos especificar previamente qué tratamientos se van a comparar, ni necesitamos ajustar para realizar comparaciones múltiples . La desventaja de la prueba F de ANOVA es que si rechazamos la hipótesis nula , no sabemos qué tratamientos pueden considerarse significativamente diferentes de los demás, ni, si la prueba F se realiza al nivel α, podemos afirmar que el par de tratamientos con la mayor diferencia de medias es significativamente diferente al nivel α.

Consider two models, 1 and 2, where model 1 is 'nested' within model 2. Model 1 is the restricted model, and model 2 is the unrestricted one. That is, model 1 has p₁ parameters, and model 2 has p₂ parameters, where p₁ < p₂, and for any choice of parameters in model 1, the same regression curve can be achieved by some choice of the parameters of model 2.

One common context in this regard is that of deciding whether a model fits the data significantly better than does a naive model, in which the only explanatory term is the intercept term, so that all predicted values for the dependent variable are set equal to that variable's sample mean. The naive model is the restricted model, since the coefficients of all potential explanatory variables are restricted to equal zero.

Another common context is deciding whether there is a structural break in the data: here the restricted model uses all data in one regression, while the unrestricted model uses separate regressions for two different subsets of the data. This use of the F-test is known as the Chow test.

The model with more parameters will always be able to fit the data at least as well as the model with fewer parameters. Thus typically model 2 will give a better (i.e. lower error) fit to the data than model 1. But one often wants to determine whether model 2 gives a significantly better fit to the data. One approach to this problem is to use an F-test.

If there are n data points to estimate parameters of both models from, then one can calculate the F statistic, given by

${\displaystyle F={\frac {\left({\frac {{\text{RSS}}_{1}-{\text{RSS}}_{2}}{p_{2}-p_{1}}}\right)}{\left({\frac {{\text{RSS}}_{2}}{n-p_{2}}}\right)}}={\frac {{\text{RSS}}_{1}-{\text{RSS}}_{2}}{{\text{RSS}}_{2}}}\cdot {\frac {n-p_{2}}{p_{2}-p_{1}}},}$

where RSS_i is the residual sum of squares of model i. If the regression model has been calculated with weights, then replace RSS_i with χ², the weighted sum of squared residuals. Under the null hypothesis that model 2 does not provide a significantly better fit than model 1, F will have an F distribution, with (p₂−p₁, n−p₂) degrees of freedom. The null hypothesis is rejected if the F calculated from the data is greater than the critical value of the F-distribution for some desired false-rejection probability (e.g. 0.05). Since F is a monotone function of the likelihood ratio statistic, the F-test is a likelihood ratio test.