Método FOIL

En álgebra elemental , FOIL es una regla mnemotécnica para el método estándar de multiplicación de dos binomios ^{[ 1 ]} — por lo tanto, el método puede denominarse método FOIL . La palabra FOIL es un acrónimo de los cuatro términos del producto:

• Primero (los términos "primeros" de cada binomio se multiplican entre sí)
• Los términos externos (los términos "fuera" se multiplican, es decir, el primer término del primer binomio y el segundo término del segundo).
• Los términos internos ("términos internos" se multiplican: segundo término del primer binomio y primer término del segundo).
• Últimos términos ("los últimos términos de cada binomio se multiplican")

La forma general es

${\displaystyle (a+b)(c+d)=\underbrace {ac} _{\text{primero}}+\underbrace {ad} _{\text{exterior}}+\underbrace {bc} _{\text{interior}}+\underbrace {bd} _{\text{último}}.}$

Nótese que a es tanto un término "inicial" como un término "externo"; b es tanto un término "final" como un término "interno", y así sucesivamente. El orden de los cuatro términos en la suma no es importante y no tiene por qué coincidir con el orden de las letras de la palabra FOIL.

El método FOIL es un caso especial de un método más general para multiplicar expresiones algebraicas usando la propiedad distributiva . La palabra FOIL se concibió originalmente solo como una regla mnemotécnica para estudiantes de secundaria que aprendían álgebra. El término aparece en el texto de William Betz de 1929, Álgebra para hoy , donde afirma: ^{[ 2 ]}

... primeros términos, términos externos, términos internos, últimos términos. (La regla mencionada anteriormente también puede recordarse con la palabra FOIL, sugerida por las iniciales de las palabras first, outer, inner, last).

William Betz participó activamente en el movimiento para reformar las matemáticas en los Estados Unidos en ese momento, había escrito muchos textos sobre temas de matemáticas elementales y había "dedicado su vida a la mejora de la educación matemática ". ^{[ 3 ]}

Muchos estudiantes y educadores en los EE. UU. ahora usan la palabra "FOIL" como verbo que significa "expandir el producto de dos binomios". ^{[ 4 ]}

El método se utiliza más comúnmente para multiplicar binomios lineales . Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+3)(x+5)&=x\cdot x+x\cdot 5+3\cdot x+3\cdot 5\\&=x^{2}+5x+3x+15\\&=x^{2}+8x+15.\end{aligned}}}$

Si alguno de los binomios implica una resta , los términos correspondientes deben negarse . Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}(2x-3)(3x-4)&=(2x)(3x)+(2x)(-4)+(-3)(3x)+(-3)(-4)\\&=6x^{2}-8x-9x+12\\&=6x^{2}-17x+12.\end{aligned}}}$

El método FOIL es equivalente a un proceso de dos pasos que involucra la ley distributiva: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)(c+d)&=a(c+d)+b(c+d)\\&=ac+ad+bc+bd.\end{aligned}}}$

En el primer paso, se distribuye ( c + d ) sobre la suma en el primer binomio. En el segundo paso, se utiliza la propiedad distributiva para simplificar cada uno de los dos términos. Cabe destacar que este proceso implica un total de tres aplicaciones de la propiedad distributiva. A diferencia del método FOIL, el método que utiliza la propiedad distributiva se puede aplicar fácilmente a productos con más términos, como trinomios y otros de orden superior.

La regla FOIL convierte un producto de dos binomios en una suma de cuatro (o menos, si luego se combinan términos semejantes ) monomios . ^{[ 6 ]} El proceso inverso se llama factorización . En particular, si se lee la demostración anterior en orden inverso , ilustra la técnica llamada factorización por agrupación .

Una herramienta de memoria visual puede reemplazar la regla mnemotécnica FOIL para un par de polinomios con cualquier número de términos. Crea una tabla con los términos del primer polinomio en el borde izquierdo y los del segundo en el borde superior, y luego completa la tabla con productos de multiplicación. La tabla equivalente a la regla FOIL se ve así:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &c&d\\\hline a&ac&ad\\b&bc&bd\end{array}}}$

En el caso de que se trate de polinomios, ( ax + b )( cx + d ) , los términos de un grado dado se obtienen sumando a lo largo de las antidiagonales :

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &cx&d\\\hline ax&acx^{2}&adx\\b&bcx&bd\end{array}}}$

entonces${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.}$

Para multiplicar ( a + b + c )( w + x + y + z ) , la tabla sería la siguiente:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &w&x&y&z\\\hline a&aw&ax&ay&az\\b&bw&bx&by&bz\\c&cw&cx&cy&cz\end{array}}}$

La suma de las entradas de la tabla es el producto de los polinomios. Por lo tanto:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c)(w+x+y+z)&=(aw+ax+ay+az)\\&+(bw+bx+by+bz)\\&+(cw+cx+cy+cz).\end{aligned}}}$

De manera similar, para multiplicar ( ax² ⁺ bx + c ) ( dx³ ⁺ ex² ⁺ fx + g ) , se escribe la misma tabla :

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &dx^{3}&ex^{2}&fx&g\\\hline ax^{2}&adx^{5}&aex^{4}&afx^{3}&agx^{2}\\bx&bdx^{4}&bex^{3}&bfx^{2}&bgx\\c&cdx^{3}&cex^{2}&cfx&cg\end{array}}}$

y sumas a lo largo de las antidiagonales:

${\displaystyle {\begin{aligned}(ax^{2}&+bx+c)(dx^{3}+ex^{2}+fx+g)\\&=adx^{5}+(ae+bd)x^{4}+(af+be+cd)x^{3}+(ag+bf+ce)x^{2}+(bg+cf)x+cg.\end{aligned}}}$

La regla FOIL no se puede aplicar directamente para expandir productos con más de dos multiplicandos o multiplicandos con más de dos sumandos. Sin embargo, la aplicación de la ley asociativa y la regla FOIL recursiva permite expandir dichos productos. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=((a+b)+(c+d))((x+y)+(z+w))\\&=(a+b)(x+y)+(a+b)(z+w)\\&+(c+d)(x+y)+(c+d)(z+w)\\&=ax+ay+bx+by+az+aw+bz+bw\\&+cx+cy+dx+dy+cz+cw+dz+dw.\end{aligned}}}$

Los métodos alternativos basados ​​en la distribución prescinden del uso de la regla FOIL, pero pueden ser más fáciles de recordar y aplicar. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=(a+(b+c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+(c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +(c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +c(x+y+z+w)+d(x+y+z+w)\\&=ax+ay+az+aw+bx+by+bz+bw\\&\qquad +cx+cy+cz+cw+dx+dy+dz+dw.\end{aligned}}}$

• Teorema del binomio
• Factorización

• Steege, Ray; Bailey, Kerry (1997). Schaum's Outline of Theory and Problems of Intermediate Algebra . Schaum's Outline Series. Nueva York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-060839-9.