Diagonal principal

En álgebra lineal , la diagonal principal (a veces diagonal principal , diagonal primaria , diagonal principal , diagonal mayor o buena diagonal ) de una matriz${\displaystyle A}$es la lista de entradas${\displaystyle a_{i,j}}$dónde${\displaystyle i=j}$En una matriz diagonal , todos los elementos fuera de la diagonal son cero . Las siguientes cuatro matrices tienen sus diagonales principales indicadas con líneas rojas:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0\\0&\color {red}{1}&0\\0&0&\color {red}{1}\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0&0\\0&\color {red}{1}&0&0\\0&0&\color {red}{1}&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0\\0&\color {red}{1}&0\\0&0&\color {red}{1}\\0&0&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0&0\\0&\color {red}{1}&0&0\\0&0&\color {rojo}{1}&0\\0&0&0&\color {rojo}{1}\end{bmatrix}}}$$

Para una matriz cuadrada , la diagonal (o diagonal principal ) es la línea diagonal de entradas que va desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Para una matriz${\displaystyle A}$con el índice de fila especificado por${\displaystyle i}$y el índice de columna especificado por${\displaystyle j}$, estas serían entradas${\displaystyle A_{ij}}$con${\displaystyle i=j}$Por ejemplo, la matriz identidad se puede definir como aquella que tiene entradas de 1 en la diagonal principal y ceros en el resto:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

La traza de una matriz es la suma de los elementos de su diagonal principal.

La diagonal que va de la esquina superior derecha a la inferior izquierda a veces se describe como la diagonal menor o antidiagonal .

Los elementos fuera de la diagonal son aquellos que no se encuentran en la diagonal principal. Una matriz diagonal es aquella cuyos elementos fuera de la diagonal son todos cero. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

AUna entrada superdiagonal es aquella que se encuentra directamente encima y a la derecha de la diagonal principal. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Al igual que las entradas diagonales son aquellas${\displaystyle A_{ij}}$con${\displaystyle j=i}$, las entradas superdiagonales son aquellas con${\displaystyle j=i+1}$Por ejemplo, las entradas no nulas de la siguiente matriz se encuentran todas en la superdiagonal:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

Asimismo, unUna entrada subdiagonal es aquella que se encuentra directamente debajo y a la izquierda de la diagonal principal, es decir, una entrada${\displaystyle A_{ij}}$con${\displaystyle j=i-1}$. ^{[ 8 ]} Las diagonales generales de una matriz se pueden especificar mediante un índice${\displaystyle k}$medida en relación con la diagonal principal: la diagonal principal tiene${\displaystyle k=0}$; la superdiagonal tiene${\displaystyle k=1}$; la subdiagonal tiene${\displaystyle k=-1}$; y en general, el${\displaystyle k}$-diagonal consta de las entradas${\displaystyle A_{ij}}$con${\displaystyle j=i+k}$.

Una matriz de banda es aquella cuyos elementos no nulos se limitan a una banda diagonal. Una matriz tridiagonal solo tiene elementos no nulos en la diagonal principal, la superdiagonal y las subdiagonales.

La antidiagonal (a veces contradiagonal , diagonal secundaria (*), diagonal de salida , diagonal menor , diagonal fuera de la diagonal o diagonal mala ) de un orden${\displaystyle N}$matriz cuadrada${\displaystyle B}$es la colección de entradas${\displaystyle b_{i,j}}$de tal manera que${\displaystyle i+j=N+1}$a pesar de${\displaystyle 1\leq i,j\leq N}$Es decir, va desde la esquina superior derecha hasta la esquina inferior izquierda.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&\color {red}{1}\\0&\color {red}{1}&0\\\color {red}{1}&0&0\end{bmatrix}}}$

(*) Las diagonales secundarias (así como las diagonales de arrastre , menores y fuera de línea ) también suelen significar las diagonales (también conocidas como k -ésimas) paralelas a las diagonales principales, es decir ,${\displaystyle A_{i,\,i\pm k}}$para algún k distinto de cero = 1, 2, 3, ... De manera más general y universal, los elementos fuera de la diagonal de una matriz son todos los elementos que no están en la diagonal principal, es decir , con índices distintos i ≠ j .

• Rastro

• Bronson, Richard (1970), Métodos matriciales: una introducción , Nueva York: Academic Press , LCCN 70097490 
• Cullen, Charles G. (1966), Matrices y transformaciones lineales , Reading: Addison-Wesley , LCCN 66021267 
• Herstein, IN (1964), Temas de álgebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Nering, Evar D. (1970), Álgebra lineal y teoría de matrices (2.ª  ed.), Nueva York: Wiley , LCCN 76091646 
• Weisstein, Eric W. "Diagonal principal" . MathWorld .