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Articulo de referencia

Estimador de extremos

En estadística y econometría , los estimadores de extremos son una amplia clase de estimadores para modelos paramétricos que se calculan mediante la maximización (o minimización...

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En estadística y econometría , los estimadores de extremos son una amplia clase de estimadores para modelos paramétricos que se calculan mediante la maximización (o minimización) de una determinada función objetivo , que depende de los datos. La teoría general de los estimadores de extremos fue desarrollada por Amemiya (1985) .

Definición

Un estimadorθ^{\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}}Se denomina estimador de extremos si existe una función objetivo .Q^norte{\displaystyle \scriptstyle {\hat {Q}}_{n}}de tal manera que

θ^=argramometroaincógnitaθ∈Θ Q^norte(θ),{\displaystyle {\hat {\theta }}={\underset {\theta \in \Theta }{\operatorname {arg\;max} }}\ {\widehat {Q}}_{n}(\theta),}

donde Θ es el espacio de parámetros . A veces se da una definición ligeramente más débil:

Q^norte(θ^)≥máximoθ∈ΘQ^norte(θ)−opag(1),{\displaystyle {\widehat {Q}}_{n}({\hat {\theta }})\geq \max _{\theta \in \Theta }\,{\widehat {Q}}_{n}(\theta )-o_{p}(1),}

donde o p (1) es la variable que converge en probabilidad a cero . Con esta modificaciónθ^{\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}}No tiene por qué ser el maximizador exacto de la función objetivo, basta con que esté lo suficientemente cerca de ella.

La teoría de los estimadores de extremos no especifica cuál debe ser la función objetivo. Existen diversos tipos de funciones objetivo adecuadas para diferentes modelos, y este marco nos permite analizar las propiedades teóricas de dichos estimadores desde una perspectiva unificada. La teoría solo especifica las propiedades que debe poseer la función objetivo, por lo que seleccionar una función objetivo particular solo requiere verificar que se cumplan dichas propiedades.

Consistencia

Cuando el espacio de parámetros Θ no es compacto ( Θ = R en este ejemplo), entonces incluso si la función objetivo se maximiza de forma única en θ 0 , este máximo puede no estar bien separado, en cuyo caso el estimadorθ^{\displaystyle \scriptscriptstyle {\hat {\theta }}}no será coherente.

Si el espacio de parámetros Θ es compacto y existe una función límite Q 0 ( θ ) tal que:Q^norte(θ){\displaystyle \scriptstyle {\hat {Q}}_{n}(\theta )}converge a Q 0 ( θ ) en probabilidad uniformemente sobre Θ, y la función Q 0 ( θ ) es continua y tiene un máximo único en θ = θ 0 entoncesθ^{\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}}es consistente para θ 0 . [ 1 ]

La convergencia uniforme en probabilidad deQ^norte(θ){\displaystyle \scriptstyle {\hat {Q}}_{n}(\theta )}significa que

sorberθ∈Θ|Q^norte(θ)−Q0(θ)| →pag 0.{\displaystyle \sup _{\theta \in \Theta }{\big |}{\hat {Q}}_{n}(\theta )-Q_{0}(\theta ){\big |}\ {\xrightarrow {p}}\ 0.}

El requisito de que Θ sea compacto puede reemplazarse con una suposición más débil de que el máximo de Q 0 estaba bien separado, es decir, no debería existir ningún punto θ que esté alejado de θ 0 pero tal que Q 0 ( θ ) estuviera cerca de Q 0 ( θ 0 ). Formalmente, significa que para cualquier secuencia { θ i } tal que Q 0 ( θ i ) → Q 0 ( θ 0 ) , debería ser cierto que θ i → θ 0 .

normalidad asintótica

Suponiendo que se ha establecido la consistencia y las derivadas de la muestraQnorte{\displaystyle Q_{n}}Si se cumplen otras condiciones, [ 2 ] el estimador extremo converge a una distribución asintóticamente normal.

Ejemplos

  • La estimación de máxima verosimilitud utiliza la función objetivo.
    Q^norte(θ)=registro⁡[∏i=1norteF(incógnitai|θ)]=∑i=1norteregistro⁡F(incógnitai|θ),{\displaystyle {\hat {Q}}_{n}(\theta )=\log \left[\prod _{i=1}^{n}f(x_{i}|\theta )\right]=\sum _{i=1}^{n}\log f(x_{i}|\theta ),}
    donde f (·| θ ) es la función de densidad de la distribución de donde se extraen las observaciones. Esta función objetivo se denomina función de log-verosimilitud . [ 3 ]
  • El estimador del método generalizado de momentos se define a través de la función objetivo.
    Q^norte(θ)=−(1norte∑i=1nortegramo(incógnitai,θ))′W^norte(1norte∑i=1nortegramo(incógnitai,θ)),{\displaystyle {\hat {Q}}_{n}(\theta )=-{\Bigg (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}g(x_{i},\theta ){\Bigg )}'{\hat {W}}_{n}{\Bigg (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}g(x_{i},\theta ){\Bigg )},}
    donde g (·| θ ) es la condición de momento del modelo. [ 4 ]
  • Estimador de distancia mínima
  • Estimador de mínimos cuadrados

Véase también

Notas

  1. ↑ Newey y McFadden (1994), Teorema 2.1
  2. ↑ Shi, Xiaoxia. "Apuntes de clase: Normalidad asintótica de los estimadores de extremos" (PDF) .
  3. ↑ Hayashi, Fumio (2000). Econometría . Princeton: Princeton University Press. pág. 448. ISBN  0-691-01018-8.
  4. ↑ Hayashi, Fumio (2000). Econometría . Princeton: Princeton University Press. pág. 447. ISBN  0-691-01018-8.

Referencias

  • Amemiya, Takeshi (1985). «Propiedades asintóticas de los estimadores de extremos» . Econometría avanzada . Harvard University Press. págs. 105-158 . ISBN  0-674-00560-0.
  • Hayashi, Fumio (2000). "Estimadores extremos" . Econometría . Princeton: Princeton University Press. pp. 445–506 . ISBN  0-691-01018-8.
  • Newey, Whitney K.; McFadden, Daniel (1994). «Estimación de muestras grandes y prueba de hipótesis». Manual de Econometría . Vol.  IV. Elsevier Science. pp. 2111–2245 . doi : 10.1016/S1573-4412(05)80005-4 . ISBN  0-444-88766-0.