teoría de valores extremos

La teoría de valores extremos o análisis de valores extremos ( EVA , por sus siglas en inglés) es el estudio de los valores extremos en las distribuciones estadísticas.

Se utiliza ampliamente en diversas disciplinas, como ingeniería estructural , finanzas , ciencias actuariales , economía , ciencias de la tierra , predicción de tráfico e ingeniería geológica . Por ejemplo, la EVA podría emplearse en hidrología para estimar la probabilidad de una inundación excepcionalmente grande, como la inundación de 100 años . De manera similar, para el diseño de un rompeolas , un ingeniero costero buscaría estimar la  ola de 50 años y diseñar la estructura en consecuencia.

Existen dos enfoques principales para el análisis práctico de valores extremos.

El primer método se basa en la obtención de series de máximos (mínimos) de bloques como paso preliminar. En muchas situaciones, es habitual y conveniente extraer los máximos (mínimos) anuales, generando así una serie de máximos anuales (SMA).

El segundo método se basa en extraer, de un registro continuo, los valores máximos alcanzados durante cualquier período en el que los valores superen un cierto umbral (o caigan por debajo de un cierto umbral). Este método se conoce generalmente como el método de pico por encima del umbral (POT). ^{[ 1 ]}

Para los datos de AMS, el análisis puede basarse parcialmente en los resultados del teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko , lo que lleva a seleccionar la distribución generalizada de valores extremos para el ajuste. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Sin embargo, en la práctica, se aplican diversos procedimientos para seleccionar entre una gama más amplia de distribuciones. El teorema aquí se relaciona con las distribuciones límite para el mínimo o el máximo de una colección muy grande de variables aleatorias independientes de la misma distribución. Dado que el número de eventos aleatorios relevantes dentro de un año puede ser bastante limitado, no es sorprendente que los análisis de datos de AMS observados a menudo lleven a seleccionar distribuciones distintas de la distribución generalizada de valores extremos (GEVD). ^{[ 4 ]}

Para los datos POT, el análisis puede implicar el ajuste de dos distribuciones: una para el número de eventos en un período de tiempo considerado y una segunda para la magnitud de las superaciones.

Una suposición común para la primera es la distribución de Poisson , mientras que la distribución de Pareto generalizada se utiliza para las excedencias. El ajuste de la cola puede basarse en el teorema de Pickands-Balkema-de Haan . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Novak (2011) reserva el término "método POT" para el caso en que el umbral no es aleatorio, y lo distingue del caso en que se trata de excedencias de un umbral aleatorio. ^{[ 7 ]}

Las aplicaciones de la teoría de valores extremos incluyen la predicción de la distribución de probabilidad de:

El campo de la teoría de valores extremos fue impulsado por L. Tippett (1902-1985). Tippett trabajó para la British Cotton Industry Research Association , donde se dedicó a mejorar la resistencia del hilo de algodón. En sus estudios, se percató de que la resistencia de un hilo dependía de la resistencia de sus fibras más débiles. Con la ayuda de R. A. Fisher , Tippett obtuvo tres límites asintóticos que describen las distribuciones de valores extremos, asumiendo variables independientes. E. J. Gumbel (1958) ^{[ 28 ]} codificó esta teoría. Estos resultados pueden extenderse para incluir correlaciones leves entre variables, pero la teoría clásica no abarca correlaciones fuertes del orden de la varianza. Una clase de universalidad de particular interés es la de campos logarítmicamente correlacionados , donde las correlaciones disminuyen logarítmicamente con la distancia.

La teoría de los valores extremos de una sola variable se rige por el teorema de valores extremos , también llamado teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko , que describe cuál de las tres posibles distribuciones de valores extremos se aplica a una variable estadística en particular.${\displaystyle X}$.

La teoría de valores extremos en más de una variable introduce cuestiones adicionales que deben abordarse. Un problema que surge es la necesidad de especificar qué constituye un evento extremo. ^{[ 29 ]} Si bien esto es sencillo en el caso univariado, no existe una manera inequívoca de hacerlo en el caso multivariado. El problema fundamental radica en que, aunque es posible ordenar un conjunto de números reales, no existe una manera natural de ordenar un conjunto de vectores.

Como ejemplo, en el caso univariado, dado un conjunto de observaciones${\displaystyle \ x_{i}\ }$Es sencillo encontrar el evento más extremo simplemente tomando el máximo (o mínimo) de las observaciones. Sin embargo, en el caso bivariado, dado un conjunto de observaciones${\displaystyle \ (x_{i},y_{i})\ }$, no está inmediatamente claro cómo encontrar el evento más extremo. Supongamos que se han medido los valores${\displaystyle \ (3,4)\ }$en un momento específico y los valores${\displaystyle \ (5,2)\ }$En un momento posterior. ¿Cuál de estos eventos se consideraría más extremo? No existe una respuesta universal a esta pregunta.

Otro problema en el caso multivariado es que el modelo límite no está tan completamente prescrito como en el caso univariado. En el caso univariado, el modelo ( distribución GEV ) contiene tres parámetros cuyos valores no son predichos por la teoría y deben obtenerse ajustando la distribución a los datos. En el caso multivariado, el modelo no solo contiene parámetros desconocidos, sino también una función cuya forma exacta no está prescrita por la teoría. Sin embargo, esta función debe cumplir ciertas restricciones. ^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]} No es sencillo diseñar estimadores que cumplan tales restricciones, aunque recientemente se han construido algunos. ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]}

Como ejemplo de aplicación, la teoría de valores extremos bivariada se ha aplicado a la investigación oceanográfica. ^{[ 29 ] [ 36 ]}

El modelado estadístico para series temporales no estacionarias se desarrolló en la década de 1990. ^{[ 37 ]} Los métodos para extremos multivariados no estacionarios se han introducido más recientemente. ^{[ 38 ]} Estos últimos pueden utilizarse para rastrear cómo cambia la dependencia entre valores extremos a lo largo del tiempo o en función de otra covariable. ^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ]}

• Belzile, LR; Dutang, C.; Northrop, PJ; Opitz, T. (2023). "Guía del modelador para el software de valores extremos". Extremes . 26 (4): 595– 638. arXiv : 2205.07714 . doi : 10.1007/s10687-023-00475-9 .
• "Estadística de valores extremos en R" . cran.r-project.org (software). 4 de noviembre de 2023.— Paquete para estadísticas de valores extremos en R.
• "Extremes.jl" . github.com (software).— Paquete para estadísticas de valores extremos en Julia .
• "Código fuente para análisis de valores extremos estacionarios y no estacionarios" . amir.eng.uci.edu (software). Irvine, CA: Universidad de California, Irvine .