Expectil

En la teoría matemática de la probabilidad , los expectiles de una distribución de probabilidad se relacionan con el valor esperado de la distribución de una manera análoga a aquella en la que los cuantiles de la distribución se relacionan con la mediana .

Para , el expectil en el nivel de la distribución de probabilidad con función de distribución acumulativa se caracteriza de forma única por cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}${\textstyle \tau \in (0,1)}$${\textstyle t}$${\textstyle \tau }$${\textstyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&(1-\tau )\int _{-\infty }^{t}(tx)\,dF(x)=\tau \int _{t}^{\infty }(xt)\,dF(x);\\[5pt]&\int _{-\infty }^{t}|tx|\,dF(x)=\tau \int _{-\infty }^{\infty }|xt|\,dF(x);\\[5pt]&t-\operatorname {E} [X]={\frac {2\tau -1}{1-\tau }}\int _{t}^{\infty }(xt)\,dF(x).\end{aligned}}}$

La regresión de cuantiles minimiza una pérdida asimétrica (véase desviaciones absolutas mínimas ):${\displaystyle L_{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {quantile} (\tau )&\in \operatorname {argmin} _{t\in \mathbb {R} }\operatorname {E} [|Xt||\tau -H(tX)|],\end{aligned}}}$

donde es la función escalón de Heaviside ; análogamente, la regresión expectil minimiza una pérdida asimétrica (véase mínimos cuadrados ordinarios ):${\displaystyle H}$${\displaystyle L_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {expectile} (\tau )&\in \operatorname {argmin} _{t\in \mathbb {R} }\operatorname {E} [|Xt|^{2}|\tau -H(tX)|].\end{aligned}}}$