Juego sin valor

En la teoría matemática de juegos , en particular en el estudio de juegos continuos de suma cero , no todos los juegos tienen un valor minimax . Este es el valor esperado para uno de los jugadores cuando ambos juegan una estrategia perfecta (que consiste en elegir de una función de densidad de probabilidad particular ).

Este artículo ofrece un ejemplo de un juego de suma cero que no tiene valor . Se debe a Sion y Wolfe . ^{[ 1 ]}

Se sabe que los juegos de suma cero con un número finito de estrategias puras tienen un valor minimax (demostrado originalmente por John von Neumann ), pero esto no necesariamente ocurre si el juego tiene un conjunto infinito de estrategias. A continuación, se presenta un ejemplo sencillo de un juego sin valor minimax.

La existencia de este tipo de juegos de suma cero resulta interesante porque muchos de los resultados de la teoría de juegos se vuelven inaplicables si no existe un valor minimax.

Los jugadores I y II eligen números.${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$respectivamente, entre 0 y 1. La recompensa para el jugador I es $${\displaystyle K(x,y)={\begin{cases}-1&{\text{si }}x<y<x+1/2,\\0&{\text{si }}x=y{\text{ o }}y=x+1/2,\\1&{\text{en otro caso.}}\end{cases}}}$$ Es decir, después de que se toman las decisiones, el jugador II paga${\displaystyle K(x,y)}$al jugador I (por lo que el juego es de suma cero ).

Si el par${\displaystyle (x,y)}$Se interpreta como un punto en el cuadrado unitario; la figura muestra la recompensa para el jugador I. El jugador I puede adoptar una estrategia mixta, eligiendo un número de acuerdo con una función de densidad de probabilidad (pdf).${\displaystyle f}$y de manera similar el jugador II elige de un archivo PDF${\displaystyle g}$El jugador I busca maximizar la recompensa.${\displaystyle K(x,y)}$, el jugador II para minimizar la recompensa, y cada jugador es consciente del objetivo del otro.

Sion y Wolfe demuestran que $${\displaystyle \sup _ {f}\inf _ {g}\iint K\,df\,dg={\frac {1}{3}}}$$ pero $${\displaystyle \inf _ {g}\sup _ {f}\iint K\,df\,dg={\frac {3}{7}}.}$$ Estas son las expectativas máximas y mínimas del valor del juego para el jugador I y II, respectivamente.

El${\displaystyle \sup }$y${\displaystyle \inf }$Se toman respectivamente el supremo y el ínfimo sobre las funciones de densidad de probabilidad en el intervalo unitario (en realidad, medidas de probabilidad de Borel ). Estas representan las estrategias (mixtas) del jugador I y del jugador II. Por lo tanto, el jugador I puede asegurarse una ganancia de al menos 3/7 si conoce la estrategia del jugador II, y el jugador II puede limitar la ganancia a 1/3 si conoce la estrategia del jugador I.

No existe equilibrio épsilon para valores suficientemente pequeños${\displaystyle \varepsilon }$, específicamente, si${\displaystyle \varepsilon <{\frac {1}{2}}\left({\frac {3}{7}}-{\frac {1}{3}}\right)\simeq 0.0476}$. Dasgupta y Maskin ^{[ 2 ]} afirman que los valores del juego se alcanzan si el jugador I pone peso de probabilidad solo en el conjunto${\displaystyle \left\{0,1/2,1\right\}}$y el jugador II pone peso solo en${\displaystyle \left\{1/4,1/2,1\right\}}$.

El teorema de Glicksberg muestra que cualquier juego de suma cero con función de pago semicontinua superior o inferior tiene un valor (en este contexto, una función semicontinua superior (inferior) K es aquella en la que el conjunto${\displaystyle \{P\mid K(P)<c\}}$(respuesta${\displaystyle \{P\mid K(P)>c\}}$) está abierto para cualquier número real c ). 

La función de pago del ejemplo de Sion y Wolfe no es semicontinua. Sin embargo, se puede hacer que lo sea cambiando el valor de K ( x , x ) y K ( x , x + 1/2) (el pago a lo largo de las dos discontinuidades) a +1 o −1, haciendo que el pago sea semicontinuo superior o inferior, respectivamente. Si se hace esto, el juego entonces tiene un valor.     

Trabajos posteriores de Heuer ^{[ 3 ]} analizan una clase de juegos en los que el cuadrado unitario se divide en tres regiones, siendo la función de pago constante en cada una de las regiones.