gravedad cuántica euclidiana

En física teórica , la gravedad cuántica euclidiana aprovecha la rotación de Wick para describir la gravedad según los principios de la mecánica cuántica . Este enfoque particular de la gravedad cuántica es un resultado de la investigación sobre la termodinámica de los agujeros negros realizada por Stephen Hawking y James Hartle . ^{[ 1 ]}

Introducción en términos sencillos

La rotación de Wick

En física, una rotación de Wick, que recibe su nombre de Gian-Carlo Wick , es un método para encontrar una solución a problemas de dinámica en $n$ dimensiones, transponiendo sus descripciones en $n+1$ dimensiones, intercambiando una dimensión espacial por una dimensión temporal. Más precisamente, sustituye un problema matemático en el espacio de Minkowski por un problema relacionado en el espacio euclidiano mediante una transformación que sustituye una variable imaginaria por una variable real.

Se denomina rotación porque cuando los números complejos se representan como un plano, la multiplicación de un número complejo por $i$ es equivalente a rotar el vector que representa ese número en un ángulo de $\pi /2$ radianes alrededor del origen.

Por ejemplo, una rotación de Wick podría usarse para relacionar un evento macroscópico de difusión de temperatura (como en un baño) con los movimientos térmicos subyacentes de las moléculas. Si intentamos modelar el volumen del baño con diferentes gradientes de temperatura, tendríamos que subdividir este volumen en volúmenes infinitesimales y observar cómo interactúan. Sabemos que dichos volúmenes infinitesimales son, de hecho, moléculas de agua. Si representamos todas las moléculas del baño con una sola molécula para simplificar el problema, esta molécula única debería recorrer todas las trayectorias posibles que podrían seguir las moléculas reales. La formulación de la integral de trayectoria es la herramienta conceptual utilizada para describir los movimientos de esta molécula única, y la rotación de Wick es una de las herramientas matemáticas muy útiles para analizar un problema de integral de trayectoria.

Aplicación en mecánica cuántica

De manera similar, el movimiento de un objeto cuántico, tal como lo describe la mecánica cuántica, implica que puede existir simultáneamente en diferentes posiciones y tener diferentes velocidades. Esto difiere claramente del movimiento de un objeto clásico (por ejemplo, una bola de billar), para el cual se puede describir una única trayectoria con posición y velocidad precisas. Un objeto cuántico no se mueve de A a B por una sola trayectoria, sino que se mueve de A a B por todas las trayectorias posibles al mismo tiempo. Según la formulación de la integral de trayectoria de Feynman de la mecánica cuántica, la trayectoria del objeto cuántico se describe matemáticamente como un promedio ponderado de todas esas trayectorias posibles. En 1966, DeWitt descubrió un algoritmo de integral funcional explícitamente invariante de gauge , que extendió las nuevas reglas de Feynman a todos los órdenes. Lo atractivo de este nuevo enfoque es su ausencia de singularidades, cuando estas son inevitables en la relatividad general .

Otro problema operativo de la relatividad general es la dificultad computacional, debido a la complejidad de las herramientas matemáticas utilizadas. En contraste, las integrales de trayectoria se han utilizado en mecánica desde finales del siglo XIX y son bien conocidas. Además, el formalismo de la integral de trayectoria se utiliza tanto en física clásica como cuántica, por lo que podría ser un buen punto de partida para unificar la relatividad general y las teorías cuánticas. Por ejemplo, la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica y la ecuación clásica del calor están relacionadas por la rotación de Wick. Así, la relación de Wick es una buena herramienta para relacionar un fenómeno clásico con un fenómeno cuántico. La ambición de la gravedad cuántica euclidiana es utilizar la rotación de Wick para encontrar conexiones entre un fenómeno macroscópico, la gravedad, y algo más microscópico.

Tratamiento más riguroso

La gravedad cuántica euclidiana se refiere a una versión rotada de Wick de la gravedad cuántica , formulada como una teoría cuántica de campos . Las variedades que se utilizan en esta formulación son variedades riemannianas de 4 dimensiones en lugar de variedades pseudoriemannianas . También se supone que las variedades son compactas , conexas y sin frontera (es decir, sin singularidades ). Siguiendo la formulación habitual de la teoría cuántica de campos, la amplitud de vacío a vacío se escribe como una integral funcional sobre el tensor métrico , que ahora es el campo cuántico en consideración.

\int {\mathcal {D}}\mathbf {g} \,{\mathcal {D}}\phi \,\exp \left(\int d^{4}x{\sqrt {|\mathbf {g} |}}(R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {materia} })\right)

donde φ denota todos los campos de materia. Véase la acción de Einstein-Hilbert .

Relación con el formalismo ADM

La gravedad cuántica euclidiana se relaciona con el formalismo ADM utilizado en la gravedad cuántica canónica y recupera la ecuación de Wheeler-DeWitt bajo diversas circunstancias. Si tenemos algún campo de materia $\phi$ , entonces la integral de trayectoria se lee

Z=\int {\mathcal {D}}\mathbf {g} \,{\mathcal {D}}\phi \,\exp \left(\int d^{4}x{\sqrt {|\mathbf {g} |}}(R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {materia} })\right)

donde la integración sobre ${\mathcal {D}}\mathbf {g}$ incluye una integración sobre la función de lapso de tres métricas $N$ y vector de desplazamiento $N^{a}$ Pero exigimos que $Z$ ser independiente de la función de lapso y del vector de desplazamiento en los límites, por lo que obtenemos

{\frac {\delta Z}{\delta N}}=0=\int {\mathcal {D}}\mathbf {g} \,{\mathcal {D}}\phi \,\left.{\frac {\delta S}{\delta N}}\right|_{\Sigma }\exp \left(\int d^{4}x{\sqrt {|\mathbf {g} |}}(R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {materia} })\right)

dónde $\Sigma$ es el límite tridimensional. Nótese que si esta expresión se anula, la derivada funcional también se anula, lo que nos da la ecuación de Wheeler-DeWitt. Se puede hacer una afirmación similar para la restricción de difeomorfismo (tomando la derivada funcional con respecto a las funciones de desplazamiento).

Referencias

↑ "Obituario de Jim Hartle" . Departamento de Física, Universidad de California, Santa Bárbara . 30 de mayo de 2023. Archivado del original el 4 de junio de 2023. Consultado el 31 de mayo de 2023 .

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[:4-1] "Obituario de Jim Hartle" . Departamento de Física, Universidad de California, Santa Bárbara . 30 de mayo de 2023. Archivado del original el 4 de junio de 2023. Consultado el 31 de mayo de 2023 .