Margen de error

El margen de error es una estadística que expresa la cantidad de error de muestreo aleatorio en los resultados de una encuesta . Cuanto mayor sea el margen de error, menor será la confianza que se pueda tener en que el resultado de una encuesta refleje el resultado de un censo simultáneo de toda la población . El margen de error será positivo siempre que una población esté muestreada de forma incompleta y la medida de resultado tenga varianza positiva , es decir, siempre que la medida varíe .

El término margen de error se utiliza a menudo en contextos ajenos a las encuestas para indicar el error de observación al informar sobre cantidades medidas.

Consideremos una encuesta sencilla de sí/no.${\textstyle P}$como muestra de${\textstyle n}$encuestados extraídos de una población${\textstyle N}$(con${\textstyle n\ll N}$) informando el porcentaje${\textstyle p}$de respuestas afirmativas . Nos gustaría saber qué tan cerca estamos.${\textstyle p}$es el resultado verdadero de una encuesta a toda la población.${\textstyle N}$sin tener que realizar una. Hipotéticamente, si realizáramos una encuesta${\textstyle P}$sobre muestras subsiguientes de${\textstyle n}$encuestados (recién seleccionados de${\textstyle N}$), esperaríamos esos resultados posteriores${\textstyle p_{1},p_{2},\ldots }$estar distribuido normalmente sobre${\textstyle {\overline {p}}}$, el porcentaje verdadero pero desconocido de la población. El margen de error describe la distancia dentro de la cual se espera que varíe un porcentaje específico de estos resultados.${\textstyle {\overline {p}}}$.

Según el teorema del límite central , el margen de error ayuda a explicar cómo la distribución de las medias muestrales (o el porcentaje de respuestas afirmativas , en este caso) se aproximará a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Si esto se cumple, indicaría que el muestreo es insesgado, pero no la distribución inherente de los datos. ^{[ 1 ]}

Según la regla 68-95-99.7 , esperaríamos que el 95% de los resultados${\textstyle p_{1},p_{2},\ldots }$caerá dentro de aproximadamente dos desviaciones estándar (${\textstyle \pm 2\sigma _{P}}$) a ambos lados de la media verdadera${\textstyle {\overline {p}}}$Este intervalo se llama intervalo de confianza , y el radio (la mitad del intervalo) se llama margen de error , que corresponde a un nivel de confianza del 95% .

Generalmente, a un nivel de confianza${\textstyle 1-2\alpha }$, un tamaño de muestra${\textstyle n}$de una población con desviación estándar esperada${\textstyle \sigma }$tiene un margen de error

${\displaystyle {\text{MOE}}_{1-2\alpha }=z_{1-\alpha }\times {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}$,

dónde${\textstyle z_{1-\alpha }}$denota el cuartil inferior (comúnmente denominado puntuación z ) y${\textstyle {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}$es el error estándar . Por ejemplo, utilizando un nivel de confianza del 95%, tendríamos${\textstyle \alpha }$= 0,025 y${\textstyle z_{1-\alpha }=z_{0.975}}$≈ 2. Por lo tanto,${\textstyle {\text{MOE}}_{0.95}\approx 2\times {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}$Si no se especifica un nivel de confianza explícito, el nivel de confianza más utilizado es el 95%.

Cabría esperar el promedio de valores distribuidos normalmente.${\textstyle p_{1},p_{2},\ldots }$tener una desviación estándar que de alguna manera varía con${\textstyle n}$. El más pequeño${\textstyle n}$Cuanto mayor sea el margen, mayor será el margen. Esto se denomina error estándar.${\textstyle \sigma _{\overline {p}}}$.

Para el único resultado de nuestra encuesta, asumimos que${\textstyle p={\overline {p}}}$y que todos los resultados subsiguientes${\textstyle p_{1},p_{2},\ldots }$juntos tendrían una variación${\textstyle \sigma _ {P}^{2}=P(1-P)}$:

${\displaystyle {\text{Error estándar}}=\sigma _{\overline {p}}\approx {\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}\approx {\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}$.

Tenga en cuenta que${\textstyle p(1-p)}$corresponde a la varianza de una distribución de Bernoulli .

Para un nivel de confianza${\displaystyle 1-2\alpha }$, existe un intervalo de confianza correspondiente alrededor de la media${\displaystyle \mu \pm z_{1-\alpha }\sigma }$, es decir, el intervalo${\displaystyle [\mu -z_{1-\alpha }\sigma ,\mu +z_{1-\alpha }\sigma ]}$dentro de los cuales valores de${\displaystyle P}$debería caer con probabilidad${\displaystyle 1-2\alpha }$. Valores precisos de${\displaystyle z_{1-\alpha }}$vienen dadas por la función cuantil de la distribución normal (a la que se aproxima la regla 68–95–99.7).

Tenga en cuenta que${\displaystyle z_{\gamma }}$no está definido para${\displaystyle |\gamma |\geq 1}$, eso es,${\displaystyle z_{1.00}}$no está definido, como lo está${\displaystyle z_{1.10}}$.

Desde${\displaystyle \max \sigma _{P}^{2}=\max P(1-P)=0.25}$en${\displaystyle p=0.5}$, podemos establecer arbitrariamente${\displaystyle p={\overline {p}}=0.5}$calcular${\displaystyle \sigma _{P}}$,${\displaystyle \sigma _{\overline {p}}}$, y${\ Displaystyle z _ {\ gamma} \ sigma _ {\ overline {p}}}$para obtener el máximo margen de error para${\displaystyle P}$a un nivel de confianza determinado${\displaystyle \gamma }$y tamaño de la muestra${\displaystyle n}$, incluso antes de tener resultados reales.  Con${\displaystyle p=0.5,n=1013}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(0.5)=z_{0.95}\sigma _{\overline {p}}\approx z_{0.95}{\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}=1.96{\sqrt {\frac {.25}{n}}}=0.98/{\sqrt {n}}=\pm 3.1\%}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{99}(0.5)=z_{0.99}\sigma _{\overline {p}}\approx z_{0.99}{\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}=2.58{\sqrt {\frac {.25}{n}}}=1.29/{\sqrt {n}}=\pm 4.1\%}$

Además, resulta útil para cualquier informe${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{99}={\frac {z_{0.99}}{z_{0.95}}}{\text{MOE}}_{95}\approx 1.3\times {\text{MOE}}_{95}}$

Si una encuesta tiene varios resultados porcentuales (por ejemplo, una encuesta que mide una sola preferencia de opción múltiple), el resultado más cercano al 50% tendrá el mayor margen de error. Normalmente, este es el número que se informa como el margen de error para toda la encuesta. Imagine una encuesta${\displaystyle P}$informes${\displaystyle p_{a},p_{b},p_{c}}$como${\displaystyle 71\%,27\%,2\%,n=1013}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(P_{a})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{a}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{a}(1-p_{a})}{n}}}=0.89/{\sqrt {n}}=\pm 2.8\%}$(como en la figura anterior)

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(P_{b})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{b}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{b}(1-p_{b})}{n}}}=0.87/{\sqrt {n}}=\pm 2.7\%}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(P_{c})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{c}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{c}(1-p_{c})}{n}}}=0.27/{\sqrt {n}}=\pm 0.8\%}$

A medida que un porcentaje determinado se aproxima a los extremos del 0% o del 100%, su margen de error se aproxima a ±0%.

Imagina una encuesta de opción múltiple.${\displaystyle P}$informes${\displaystyle p_{a},p_{b},p_{c}}$como${\displaystyle 46\%,42\%,12\%,n=1013}$Como se describió anteriormente, el margen de error reportado para la encuesta sería típicamente${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(P_{a})}$, como${\displaystyle p_{a}}$es más cercano al 50%. Sin embargo, la noción popular de empate estadístico o empate técnico no se centra en la precisión de los resultados individuales, sino en la de su clasificación . ¿Cuál va primero?

Si, hipotéticamente, realizáramos una encuesta${\displaystyle P}$sobre muestras subsiguientes de${\displaystyle n}$encuestados (recién seleccionados de${\displaystyle N}$), e informar el resultado${\displaystyle p_{w}=p_{a}-p_{b}}$, podríamos usar el error estándar de la diferencia para entender cómo${\displaystyle p_{w_{1}},p_{w_{2}},p_{w_{3}},\ldots }$Se espera que caiga aproximadamente${\displaystyle {\overline {p_{w}}}}$Para ello, necesitamos aplicar la suma de varianzas para obtener una nueva varianza,${\displaystyle \sigma _{P_{w}}^{2}}$,

${\displaystyle \sigma _{P_{w}}^{2}=\sigma _{P_{a}-P_{b}}^{2}=\sigma _{P_{a}}^{2}+\sigma _{P_{b}}^{2}-2\sigma _{P_{a},P_{b}}=p_{a}(1-p_{a})+p_{b}(1-p_{b})+2p_{a}p_{b}}$

dónde${\displaystyle \sigma _{P_{a},P_{b}}=-P_{a}P_{b}}$es la covarianza de${\displaystyle P_{a}}$y${\displaystyle P_{b}}$.

Así (después de simplificar),

${\displaystyle {\text{Standard error of difference}}=\sigma _{\overline {w}}\approx {\sqrt {\frac {\sigma _{P_{w}}^{2}}{n}}}={\sqrt {\frac {p_{a}+p_{b}-(p_{a}-p_{b})^{2}}{n}}}=0.029,P_{w}=P_{a}-P_{b}}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(P_{a})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{a}}}\approx \pm {3.1\%}}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(P_{w})=z_{0.95}\sigma _{\overline {w}}\approx \pm {5.8\%}}$

Tenga en cuenta que esto supone que${\displaystyle P_{c}}$es casi constante, es decir, los encuestados que eligen A o B casi nunca elegirían C (haciendo${\displaystyle P_{a}}$y${\displaystyle P_{b}}$cerca de una correlación negativa perfecta ). Con tres o más opciones en competencia más cercana, elegir la fórmula correcta para${\displaystyle \sigma _{P_{w}}^{2}}$se vuelve más complicado.

Las fórmulas anteriores para el margen de error suponen que existe una población infinitamente grande y, por lo tanto, no dependen del tamaño de la población.${\displaystyle N}$pero solo en el tamaño de la muestra.${\displaystyle n}$Según la teoría del muestreo , esta suposición es razonable cuando la fracción de muestreo es pequeña. El margen de error para un método de muestreo determinado es prácticamente el mismo, independientemente de si la población de interés es del tamaño de una escuela, una ciudad, un estado o un país, siempre que la fracción de muestreo sea pequeña.

En los casos en que la fracción de muestreo es mayor (en la práctica, mayor del 5%), los analistas podrían ajustar el margen de error utilizando una corrección de población finita para tener en cuenta la precisión adicional obtenida al muestrear un porcentaje mucho mayor de la población. El FPC se puede calcular utilizando la fórmula ^{[ 2 ].}

${\displaystyle {\text{FPC}}={\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}}$

...y así, si la encuesta${\displaystyle P}$se realizaron sobre más del 24% de, digamos, un electorado de 300.000 votantes,

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95}(0.5)=z_{0.95}\sigma _{\overline {p}}\approx {\frac {0.98}{\sqrt {72,000}}}=\pm 0.4\%}$

${\displaystyle {\text{MOE}}_{95_{FPC}}(0.5)=z_{0.95}\sigma _{\overline {p}}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}\approx {\frac {0.98}{\sqrt {72,000}}}{\sqrt {\frac {300,000-72,000}{300,000-1}}}=\pm 0.3\%}$

Intuitivamente, para tamaños suficientemente grandes${\displaystyle N}$,

${\displaystyle \lim _{n\to 0}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}\approx 1}$

${\displaystyle \lim _{n\to N}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}=0}$

En el primer caso,${\displaystyle n}$es tan pequeño que no requiere corrección. En este último caso, la encuesta se convierte efectivamente en un censo y el error de muestreo deja de ser relevante.

• Tolerancia de ingeniería
• Relevancia clave
• Incertidumbre de medición
• Error aleatorio

• Sudman, Seymour y Bradburn, Norman (1982). Cómo hacer preguntas: Una guía práctica para el diseño de cuestionarios . San Francisco: Jossey Bass. ISBN 0-87589-546-8
• Wonnacott, TH; RJ Wonnacott (1990). Estadística introductoria (5.ª  ed.). Wiley. ISBN 0-471-61518-8.

• "Errores, teoría de" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Margen de error" . MathWorld .