Punto de equilibrio (matemáticas)

En matemáticas , específicamente en ecuaciones diferenciales , un punto de equilibrio es una solución constante de una ecuación diferencial.

El punto${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}}$ es un punto de equilibrio para la ecuación diferencial

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )}$

si${\displaystyle \mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x} }})=\mathbf {0} }$a pesar de${\displaystyle t}$.

De manera similar, el punto ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}}$es un punto de equilibrio (o punto fijo ) para la ecuación de diferencias

${\textstyle \mathbf {x} _ {k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}$

si${\displaystyle \mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x} }})={\tilde {\mathbf {x} }}}$para${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$.

Los equilibrios pueden clasificarse analizando los signos de los autovalores de la linealización de las ecuaciones en torno a ellos. Es decir, al evaluar la matriz jacobiana en cada uno de los puntos de equilibrio del sistema y hallar los autovalores resultantes, se pueden categorizar los equilibrios. Posteriormente, el comportamiento del sistema en la vecindad de cada punto de equilibrio puede determinarse cualitativamente (o incluso cuantitativamente, en algunos casos) hallando el o los autovectores asociados a cada autovalor.

Un punto de equilibrio es hiperbólico si ninguno de los autovalores tiene parte real cero. Si todos los autovalores tienen parte real negativa, el punto es estable . Si al menos uno tiene parte real positiva, el punto es inestable . Si al menos un autovalor tiene parte real negativa y al menos uno tiene parte real positiva, el equilibrio es un punto de silla y es inestable. Si todos los autovalores son reales y tienen el mismo signo, el punto se denomina nodo .

• ecuación autónoma
• Punto crítico
• Estado estable

• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de contorno (10.ª  ed.). Wiley. ISBN 978-0-470-45831-0.
• Perko, Lawrence (2001). Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos (3.ª  ed.). Springer. pp. 102–104 . ISBN  1-4613-0003-7.