Teorema de Engel

En la teoría de la representación , una rama de las matemáticas, el teorema de Engel establece que un álgebra de Lie de dimensión finita${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un álgebra de Lie nilpotente si y solo si para cada${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$, el mapa adjunto

${\displaystyle \operatorname {ad} (X)\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},}$

dado por${\displaystyle \operatorname {anuncio} (X)(Y)=[X,Y]}$, es un endomorfismo nilpotente en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$; es decir,${\displaystyle \operatorname {ad} (X)^{k}=0}$para algún k . ^{[ 1 ]} Es una consecuencia del teorema, también llamado teorema de Engel, que dice que si un álgebra de Lie de matrices consta de matrices nilpotentes, entonces todas las matrices pueden ser llevadas simultáneamente a una forma triangular superior estricta . Nótese que si simplemente tenemos un álgebra de Lie de matrices que es nilpotente como álgebra de Lie , entonces esta conclusión no se sigue (es decir, la sustitución ingenua en el teorema de Lie de "resoluble" por "nilpotente" y "triangular superior" por "estrictamente triangular superior" es falsa; esto ya falla para la subálgebra de Lie unidimensional de matrices escalares).

El teorema recibe su nombre del matemático Friedrich Engel , quien esbozó una demostración del mismo en una carta a Wilhelm Killing fechada el 20 de julio de 1890 ( Hawkins 2000 , p. 176) . El alumno de Engel, KA Umlauf, dio una demostración completa en su disertación de 1891, reimpresa como ( Umlauf 2010 ) .

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$sea ​​el álgebra de Lie de los endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita V y${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$una subálgebra. Entonces el teorema de Engel establece que lo siguiente es equivalente:

1. Cada${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$es un endomorfismo nilpotente en V.
2. Existe una bandera${\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0,\,\operatorname {codim} V_{i}=i}$de tal manera que${\displaystyle {\mathfrak {g}}\cdot V_{i}\subset V_{i+1}}$; es decir, los elementos de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$son simultáneamente estrictamente triangulables superiormente.

Tenga en cuenta que no se requiere ninguna suposición sobre el campo base subyacente.

Observamos que la Declaración 2. para varios${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y V es equivalente a la afirmación

• Para cada espacio vectorial V de dimensión finita no nula y una subálgebra${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$, existe un vector no nulo v en V tal que${\displaystyle X(v)=0}$por cada${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}.}$

Esta es la forma del teorema demostrado en #Proof . (Esta afirmación es trivialmente equivalente a la afirmación 2, ya que permite construir inductivamente una bandera con la propiedad requerida).

En general, un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Se dice que es nilpotente si su serie central inferior se desvanece en un paso finito; es decir, para${\displaystyle C^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}},C^{i}{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},C^{i-1}{\mathfrak {g}}]}$= ( i + 1)-ésima potencia de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, existe algún k tal que${\displaystyle C^{k}{\mathfrak {g}}=0}$. Entonces, el teorema de Engel implica el siguiente teorema (también llamado teorema de Engel): cuando${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$tiene dimensión finita,

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es nilpotente si y solo si${\displaystyle \operatorname {ad} (X)}$es nilpotente para cada uno${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$.

De hecho, si${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$consta de operadores nilpotentes, entonces por 1.${\displaystyle \Leftrightarrow }$2. aplicado al álgebra${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$Existe una bandera${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset \cdots \supset {\mathfrak {g}}_{n}=0}$de tal manera que${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}_{i}]\subset {\mathfrak {g}}_{i+1}}$. Desde${\displaystyle C^{i}{\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {g}}_{i}}$, esto implica${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es nilpotente. (Lo contrario se deduce directamente de la definición).

Demostramos la siguiente forma del teorema: ^{[ 2 ]} si${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$es una subálgebra de Lie tal que cada${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$es un endomorfismo nilpotente y si V tiene dimensión positiva, entonces existe un vector no nulo v en V tal que${\displaystyle X(v)=0}$para cada X en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

La demostración se realiza por inducción sobre la dimensión de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y consta de unos pocos pasos. (Nótese que la estructura de la demostración es muy similar a la del teorema de Lie , que se refiere a un álgebra resoluble). El caso básico es trivial y asumimos la dimensión de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es positivo.

Paso 1 : Encuentra un ideal${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$de codimensión uno en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Este es el paso más difícil. Deja${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$sea ​​una subálgebra maximal (propia) de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, que existe por dimensionalidad finita. Afirmamos que es un ideal de codimensión uno. Para cada${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$, es fácil comprobar que (1)${\displaystyle \operatorname {ad} (X)}$induce un endomorfismo lineal${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$y (2) este mapa inducido es nilpotente (de hecho,${\displaystyle \operatorname {ad} (X)}$es nilpotente como${\displaystyle X}$es nilpotente; véase la descomposición de Jordan en álgebras de Lie ). Por lo tanto, mediante la hipótesis inductiva aplicada a la subálgebra de Lie de${\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}})}$generado por${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$, existe un vector no nulo v en${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$de tal manera que${\displaystyle \operatorname {ad} (X)(v)=0}$para cada${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$. Es decir, si${\displaystyle v=[Y]}$para algún Y en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$pero no en${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, entonces${\displaystyle [X,Y]=\operatorname {ad} (X)(Y)\in {\mathfrak {h}}}$por cada${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$. Pero entonces el subespacio${\displaystyle {\mathfrak {h}}'\subset {\mathfrak {g}}}$abarcado por${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$y Y es una subálgebra de Lie en la que${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$es un ideal de codimensión uno. Por lo tanto, por maximalidad,${\displaystyle {\mathfrak {h}}'={\mathfrak {g}}}$Esto demuestra la afirmación.

Paso 2 : Dejar${\displaystyle W=\{v\in V|X(v)=0,X\in {\mathfrak {h}}\}}$. Entonces${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$estabiliza W ; es decir,${\displaystyle X(v)\in W}$para cada${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}},v\in W}$.

De hecho, para${\displaystyle Y}$en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y${\displaystyle X}$en${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, tenemos:${\displaystyle X(Y(v))=Y(X(v))+[X,Y](v)=0}$desde${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$es un ideal y por eso${\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}$. De este modo,${\displaystyle Y(v)}$está en W.

Paso 3 : Finaliza la demostración encontrando un vector distinto de cero que sea destruido por${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Escribir${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+L}$donde L es un subespacio vectorial unidimensional. Sea Y un vector no nulo en L y v un vector no nulo en W. Ahora,${\displaystyle Y}$es un endomorfismo nilpotente (por hipótesis) y por lo tanto${\displaystyle Y^{k}(v)\neq 0,Y^{k+1}(v)=0}$para algún k . Entonces${\displaystyle Y^{k}(v)}$es un vector requerido ya que el vector se encuentra en W según el Paso 2.${\displaystyle \square }$

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