Ideal para un plató

En matemáticas , un ideal sobre un conjunto es una familia de subconjuntos cerrada bajo la unión de subconjuntos y uniones finitas. De manera informal, los conjuntos que pertenecen al ideal se consideran "pequeños" o "despreciables".

El concepto se generaliza tanto por ideales en un conjunto parcialmente ordenado (un ideal en un conjunto${\displaystyle X}$es ideal en el conjunto de potencia${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$parcialmente ordenado por inclusión), y por ideales en anillos (un ideal en${\displaystyle X}$es un ideal en el anillo booleano${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$). La noción dual a los ideales son los filtros .

Dado un conjunto${\displaystyle X}$, un ideal${\displaystyle {\mathcal {I}}}$en${\displaystyle X}$es un conjunto de subconjuntos de${\displaystyle X}$de tal manera que:

• ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$está cerrado hacia abajo : Si${\displaystyle A,B\subseteq X}$son tales que${\displaystyle A\in {\mathcal {I}}}$y${\displaystyle B\subsetae}$entonces${\displaystyle B\in {\mathcal {I}}}$,
• ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$está cerrado bajo uniones finitas:${\displaystyle \varnothing \in I}$, ^{[ a ]} ​​y si${\displaystyle A\in {\mathcal {I}}}$y${\displaystyle B\in {\mathcal {I}}}$entonces${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {I}}}$.

Un ideal propio es un ideal que es propio como subconjunto del conjunto potencia.${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$Por el contrario,${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$El ideal propio, que consta de todos los subconjuntos posibles, se denomina ideal impropio . Por cierre descendente, un ideal es propio si y solo si no contiene${\displaystyle X}$Algunos autores adoptan la convención de que un ideal debe ser propio por definición.

Un elemento de un ideal${\displaystyle I}$Se dice que${\displaystyle I}$-nulo o${\displaystyle I}$-despreciable , o simplemente nulo o insignificante si el ideal${\displaystyle I}$se entiende por el contexto. Si${\displaystyle I}$es un ideal en${\displaystyle X,}$entonces un subconjunto de${\displaystyle X}$Se dice que${\displaystyle I}$-positivo (o simplemente positivo ) si no es un elemento de${\displaystyle I.}$La colección de todos${\displaystyle I}$-subconjuntos positivos de${\displaystyle X}$se denota${\displaystyle I^{+}.}$

Si${\displaystyle I}$es un ideal apropiado en${\displaystyle X}$y por cada${\displaystyle A\subsetequ X}$cualquiera${\displaystyle A\in I}$o${\displaystyle X\setminus A\in I,}$entonces${\displaystyle I}$es un ideal primordial .

Dados los ideales I y J sobre los conjuntos subyacentes X e Y respectivamente, se forma el producto sesgado o de Fubini.${\displaystyle I\times J}$, un ideal sobre el producto cartesiano${\displaystyle X\times Y,}$de la siguiente manera: Para cualquier subconjunto${\displaystyle A\subseteq X\times Y,}$$${\displaystyle A\in I\times J\quad {\text{ si y solo si }}\quad \{x\in X\;:\;\{y:\langle x,y\rangle \in A\}\not \in J\}\in I}$$ Es decir, un conjunto pertenece al ideal producto si solo una cantidad insignificante de coordenadas x corresponde a una porción no insignificante de A en la dirección y . (Quizás más claro: Un conjunto es positivo en el ideal producto si un número positivo de coordenadas x corresponde a porciones positivas).

Un ideal I en un conjunto X induce una relación de equivalencia en${\displaystyle \wp (X),}$el conjunto potencia de X , considerando que A y B son equivalentes (para${\displaystyle A,B}$subconjuntos de X ) si y solo si la diferencia simétrica de A y B es un elemento de I . El cociente de${\displaystyle \wp (X)}$mediante esta relación de equivalencia es un álgebra booleana , denotada${\displaystyle \wp (X)/I}$(léase "P de X mod I ").

A cada ideal le corresponde un filtro , llamado su filtro dual . Si I es un ideal en X , entonces el filtro dual de I es la colección de todos los conjuntos.${\displaystyle X\setminus A,}$donde A es un elemento de I. (Aquí${\displaystyle X\setminus A}$denota el complemento relativo de A en X ; es decir, el conjunto de todos los elementos de X que no están en A ).

Si${\displaystyle I}$y${\displaystyle J}$son ideales en${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$respectivamente,${\displaystyle I}$y${\displaystyle J}$son isomorfos de Rudin-Keisler si son el mismo ideal excepto por el cambio de nombre de los elementos de sus conjuntos subyacentes (ignorando los conjuntos insignificantes). Más formalmente, el requisito es que existan conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B,}$elementos de${\displaystyle I}$y${\displaystyle J}$respectivamente y una biyección${\displaystyle \varphi :X\setminus A\to Y\setminus B,}$de tal manera que para cualquier subconjunto${\displaystyle C\subseteq X,}$${\displaystyle C\in I}$si y solo si la imagen de${\displaystyle C}$bajo${\displaystyle \varphi \en J.}$

Si${\displaystyle I}$y${\displaystyle J}$son isomorfos de Rudin-Keisler, entonces${\displaystyle \wp (X)/I}$y${\displaystyle \wp (Y)/J}$son isomorfos como álgebras booleanas. Los isomorfismos de álgebras booleanas cociente inducidos por isomorfismos de Rudin-Keisler de ideales se denominan isomorfismos triviales .

• Bornología – Generalización matemática de la acotación 
• Filtro (matemáticas) – Subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado 
• Filtro en un conjunto : familia de subconjuntos que representan conjuntos "grandes". 
• Ideal (teoría del orden) – Subconjunto no vacío, acotado superiormente y cerrado inferiormente. 
• Ideal (teoría de anillos) – Submódulo de un anillo matemático 
• Sistema π – Familia de conjuntos cerrados bajo la intersección 
• σ-ideal – Familia cerrada bajo subconjuntos y uniones contables Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección 

• Farah, Ilijas (noviembre de 2000). Cocientes analíticos: Teoría de elevaciones para cocientes sobre ideales analíticos en los enteros . Memorias de la AMS. Sociedad Matemática Americana. ISBN 9780821821176.