Conejo Douady

Un conejo Douady es un fractal derivado del conjunto de Julia de la función${\textstyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$, cuando parámetro${\displaystyle c}$está cerca del centro de uno de los bulbos del período tres del conjunto de Mandelbrot para un mapa cuadrático complejo .

Recibe su nombre del matemático francés Adrien Douady .

El conejo de Douady se genera iterando el mapa del conjunto de Mandelbrot.${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}$en el plano complejo , donde el parámetro${\displaystyle c}$está fijado para quedar en uno de los dos periodos tres bulbo del cardioide principal y${\displaystyle z}$que abarca todo el plano. La imagen resultante se puede colorear haciendo coincidir cada píxel con un valor inicial.${\displaystyle z_{0}}$y calculando la cantidad de iteraciones necesarias antes de que el valor de${\displaystyle z_{n}}$escapa de una región delimitada, después de lo cual divergirá hacia el infinito .

También se puede describir utilizando la forma de mapa logístico del mapa cuadrático complejo , específicamente

${\displaystyle z_{n+1}={\mathcal {M}}z_{n}:=\gamma z_{n}\left(1-z_{n}\right).}$

lo cual es equivalente a

${\displaystyle w_{n+1}=w_{n}^{2}+c}$.

Independientemente de la iteración específica utilizada, el conjunto de Julia lleno asociado con un valor dado de${\displaystyle \gamma }$(o${\displaystyle \mu }$) consta de todos los puntos de partida${\displaystyle z_{0}}$(o${\displaystyle w_{0}}$) para los cuales la iteración permanece acotada. Entonces, el conjunto de Mandelbrot consta de aquellos valores de${\displaystyle \gamma }$(o${\displaystyle \mu }$) para el cual el conjunto de Julia lleno asociado está conectado. El conjunto de Mandelbrot puede verse con respecto a cualquiera de ellos${\displaystyle \gamma }$o${\displaystyle \mu }$.

El conjunto de Mandelbrot en el${\displaystyle \gamma }$avión

El conjunto de Mandelbrot en el${\displaystyle \mu }$avión

Observando que${\displaystyle \mu }$es invariante bajo la sustitución${\displaystyle \gamma \a 2-\gamma }$, el conjunto de Mandelbrot con respecto a${\displaystyle \gamma }$tiene simetría horizontal adicional. Dado que${\displaystyle z}$y${\displaystyle w}$son transformaciones afines entre sí, o más específicamente una transformación de similitud, que consiste solo en escalado, rotación y traslación, los conjuntos de Julia rellenos se ven similares para cualquiera de las formas de la iteración dada anteriormente.

También puedes describir el conejo de Douady utilizando el conjunto de Mandelbrot con respecto a${\displaystyle \gamma }$como se muestra en el gráfico anterior. En esta figura, el conjunto de Mandelbrot aparece superficialmente como dos discos unitarios espalda con espalda con brotes o yemas , como los brotes en las posiciones de la una y las cinco en punto en el disco derecho o los brotes en las posiciones de las siete y las once en punto en el disco izquierdo. Cuando${\displaystyle \gamma }$está dentro de uno de estos cuatro brotes, se dice que el conjunto de Julia relleno asociado en el plano de mapeo es un conejo Douady. Para estos valores de${\displaystyle \gamma }$, se puede demostrar que${\displaystyle {\mathcal {M}}}$tiene${\displaystyle z=0}$y otro punto como puntos fijos inestables (repulsivos), y${\displaystyle z=\infty }$como un punto fijo atractivo. Además, el mapa${\displaystyle {\mathcal {M}}^{3}}$tiene tres puntos fijos atractores. Un conejo Douady consta de los tres puntos fijos atractores.${\displaystyle z_{1}}$,${\displaystyle z_{2}}$, y${\displaystyle z_{3}}$y sus cuencas de atracción.

Por ejemplo, la Figura 4 muestra el conejo Douady en el${\displaystyle z}$avión cuando${\displaystyle \gamma =\gamma _{D}=2.55268-0.959456i}$, un punto en el brote de las cinco en punto del disco derecho. Para este valor de${\displaystyle \gamma }$, el mapa${\displaystyle {\mathcal {M}}}$tiene los puntos fijos repelentes${\displaystyle z=0}$y${\displaystyle z=.656747-.129015i}$. Los tres puntos fijos atractores de${\displaystyle {\mathcal {M}}^{3}}$(también llamados puntos fijos de período tres) tienen las ubicaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=0.499997032420304-(1.221880225696050\times 10^{-6})i{\;}{\;}{\mathrm {(rojo)} },\\z_{2}&=0.638169999974373-(0.239864000011495)i{\;}{\;}{\mathrm {(verde)} },\\z_{3}&=0.799901291393262-(0.107547238170383)i{\;}{\;}{\mathrm {(amarillo)} }.\end{aligned}}}$

Los puntos rojos, verdes y amarillos se encuentran en las cuencas.${\displaystyle B(z_{1})}$,${\displaystyle B(z_{2})}$, y${\displaystyle B(z_{3})}$de${\displaystyle {\mathcal {M}}^{3}}$, respectivamente. Los puntos blancos se encuentran en la cuenca${\displaystyle B(\infty )}$de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$.

La acción de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$en estos puntos fijos viene dado por las relaciones${\displaystyle {\mathcal {M}}z_{1}=z_{2}}$,${\displaystyle {\mathcal {M}}z_{2}=z_{3}}$, y${\displaystyle {\mathcal {M}}z_{3}=z_{1}}$.

Correspondientes a estas relaciones están los resultados

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {M}}B(z_{1})&=B(z_{2}){\;}{\mathrm {or} }{\;}{\mathcal {M}}{\;}{\mathrm {red} }\subseteq {\mathrm {green} },\\{\mathcal {M}}B(z_{2})&=B(z_{3}){\;}{\mathrm {or} }{\;}{\mathcal {M}}{\;}{\mathrm {green} }\subseteq {\mathrm {yellow} },\\{\mathcal {M}}B(z_{3})&=B(z_{1}){\;}{\mathrm {or} }{\;}{\mathcal {M}}{\;}{\mathrm {yellow} }\subseteq {\mathrm {red} }.\end{aligned}}}$

Como segundo ejemplo, la Figura 5 muestra un conejo Douady cuando${\displaystyle \gamma =2-\gamma _{D}=-.55268+.959456i}$, un punto en el brote de las once en punto en el disco izquierdo (${\displaystyle \mu }$es invariante bajo esta transformación). Este conejo es más simétrico en el plano. Los puntos fijos de periodo tres se encuentran entonces en

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=0.500003730675024+(6.968273875812428\times 10^{-6})i{\;}{\;}({\mathrm {red} }),\\z_{2}&=-0.138169999969259+(0.239864000061970)i{\;}{\;}({\mathrm {green} }),\\z_{3}&=-0.238618870661709-(0.264884797354373)i{\;}{\;}({\mathrm {yellow} }).\end{aligned}}}$

Los puntos fijos repelentes de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$en sí están ubicados en${\displaystyle z=0}$y${\displaystyle z=1.450795+0.7825835i}$Los tres lóbulos principales de la izquierda contienen los puntos fijos del periodo tres.${\displaystyle z_{1}}$,${\displaystyle z_{2}}$, y${\displaystyle z_{3}}$encontrarse en el punto fijo${\displaystyle z=0}$y sus contrapartes de la derecha se encuentran en el punto${\displaystyle z=1}$. Se puede demostrar que el efecto de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$en puntos cercanos al origen consiste en una rotación en sentido antihorario alrededor del origen de${\displaystyle \arg(\gamma )}$o casi,${\displaystyle 120^{\circ }}$, seguido de un escalamiento (dilatación) por un factor de${\displaystyle |\gamma |=1.1072538}$.

Un conejo retorcido ^{[ 1 ]} es la composición de un polinomio de conejo con${\displaystyle n}$Los poderes de Dehn se retuercen alrededor de sus orejas. ^{[ 2 ]}

El corabbit es la imagen simétrica del conejo. Aquí el parámetro${\displaystyle c\approx -0.1226-0.7449i}$. Es uno de los otros 2 polinomios que inducen la misma permutación de su conjunto postcrítico son el conejo.

A principios de la década de 1980, Hubbard planteó el llamado problema del conejo retorcido, un problema de clasificación de polinomios. El objetivo es determinar los tipos de equivalencia de Thurston de funciones de números complejos que normalmente no se dan mediante una fórmula (estos se denominan polinomios topológicos): ^{[ 7 ]}

• Dado un polinomio cuadrático topológico cuyo punto de ramificación es periódico con periodo tres, determinar a qué polinomio cuadrático es equivalente en Thurston.
• determinar la clase de equivalencia de conejos retorcidos, es decir, la composición del polinomio del conejo con potencias n de los giros de Dehn alrededor de sus orejas.

El problema fue resuelto originalmente por Laurent Bartholdi y Volodymyr Nekrashevych ^{[ 8 ]} utilizando grupos monodrómicos iterados . También se ha resuelto la generalización del problema al caso en que el número de puntos postcríticos es arbitrariamente grande. ^{[ 9 ]}

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  Los niveles de gris indican la velocidad de convergencia al infinito o al ciclo atractivo.
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  Límites de los conjuntos de nivel
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  Descomposición binaria
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  Con columna vertebral
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  Con rayos externos
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  Conejo Multibrot-4 Douady
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  Un conejo Douady sobre un fondo rojo
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  Una cadena de conejos Douady

• Curva del dragón
• Anillo de Herman
• Disco Siegel

• Weisstein, Eric W. "Fractal del conejo de Douady" . MathWorld .
• Dragt, A. "Métodos de Lie para la dinámica no lineal con aplicaciones a la física de aceleradores" .
• Adrien Douady: La dinámica del lápiz (1996) - vídeo en YouTube

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