dominio estratégico

En teoría de juegos , una estrategia A domina a otra estrategia B si A siempre produce un mejor resultado que B , independientemente de cómo jueguen los demás jugadores. Algunos juegos muy sencillos (llamados juegos directos ) pueden resolverse utilizando el principio de dominancia.

Un jugador puede comparar dos estrategias, A y B, para determinar cuál es mejor. El resultado de la comparación es uno de los siguientes:

• B domina estrictamente (>) a A: elegir B ​​siempre da un mejor resultado que elegir A, sin importar lo que hagan los otros jugadores.
• B domina débilmente (≥) a A: elegir B ​​siempre da un resultado al menos tan bueno como elegir A, sin importar lo que hagan los demás jugadores, y hay al menos un conjunto de acciones de los oponentes para el cual B da un mejor resultado que A. (Nótese que si B domina estrictamente a A, entonces B domina débilmente a A. Por lo tanto, podemos decir "B domina a A" para decir "B domina débilmente a A".) ^{[ 1 ]}
• B está débilmente dominada por A: existe al menos un conjunto de acciones de los oponentes para el cual B proporciona un resultado peor que A, mientras que todos los demás conjuntos de acciones de los oponentes proporcionan a B la misma recompensa que a A. (La estrategia A domina débilmente a B).
• La estrategia B está estrictamente dominada por la estrategia A: elegir B ​​siempre da un resultado peor que elegir A, independientemente de lo que hagan los demás jugadores. (La estrategia A domina estrictamente a la estrategia B).
• Ni A ni B dominan al otro: B y A no son equivalentes, y B ni domina ni es dominado por A. Elegir A es mejor en algunos casos, mientras que elegir B ​​es mejor en otros, dependiendo de cómo decida jugar el oponente. Por ejemplo, en Piedra, Papel o Tijera, B es "lanzar piedra" y A es "lanzar tijeras" .

Esta idea puede generalizarse más allá de la comparación de dos estrategias.

• La estrategia B es estrictamente dominante si la estrategia B domina estrictamente a todas las demás estrategias posibles.
• La estrategia B es débilmente dominante si la estrategia B domina débilmente a todas las demás estrategias posibles.
• La estrategia B está estrictamente dominada si existe alguna otra estrategia que domine estrictamente a B.
• La estrategia B está débilmente dominada si existe alguna otra estrategia que domine débilmente a B.

Estrategia: Un plan contingente completo para un jugador en el juego. Un plan contingente completo es una especificación completa del comportamiento de un jugador, que describe cada acción que tomaría en cada posible punto de decisión. Dado que los conjuntos de información representan puntos en un juego donde un jugador debe tomar una decisión, la estrategia de un jugador describe lo que hará ese jugador en cada conjunto de información. ^{[ 2 ]}

Racionalidad: El supuesto de que cada jugador actúa de una manera diseñada para lograr lo que más prefiere dadas las probabilidades de diversos resultados; von Neumann y Morgenstern demostraron que si estas preferencias satisfacen ciertas condiciones, esto es matemáticamente equivalente a maximizar una recompensa. Un ejemplo sencillo de maximización de recompensa es la ganancia monetaria, pero para los fines de un análisis de teoría de juegos, esta recompensa puede tomar cualquier resultado deseado: recompensa en efectivo, minimización del esfuerzo o la incomodidad, o promoción de la justicia pueden modelarse como la acumulación de una "utilidad" general para el jugador. El supuesto de racionalidad establece que los jugadores siempre actuarán de la manera que mejor satisfaga su ordenación de mejor a peor entre los diversos resultados posibles. ^{[ 2 ]}

Conocimiento común : Se asume que cada jugador conoce el juego, las reglas y las recompensas asociadas a cada acción, y comprende que los demás jugadores tienen el mismo nivel de conocimiento. Esta premisa permite a un jugador, basándose en la suposición de racionalidad, emitir un juicio de valor sobre las acciones de otro jugador al momento de elegir una acción. ^{[ 2 ]}

Si un jugador tiene una estrategia estrictamente dominante, la empleará en todos los equilibrios de Nash del juego . Si ambos jugadores tienen una estrategia estrictamente dominante, el juego tiene un único equilibrio de Nash, denominado «equilibrio de estrategia dominante». Sin embargo, este equilibrio de Nash no es necesariamente «eficiente», lo que significa que puede haber resultados de no equilibrio que serían mejores para ambos jugadores. El juego clásico que se utiliza para ilustrar esto es el Dilema del Prisionero .

Las estrategias estrictamente dominadas no pueden formar parte de un equilibrio de Nash y, por lo tanto, es irracional que cualquier jugador las utilice. Por otro lado, las estrategias débilmente dominadas sí pueden formar parte de los equilibrios de Nash. Por ejemplo, considérese la matriz de pagos que se muestra a la derecha.

La estrategia C domina débilmente a la estrategia D. Consideremos jugar C : si el oponente juega C, se obtiene 1; si juega D, se obtiene 0. Compárese esto con D, donde se obtiene 0 independientemente. Dado que en un caso se obtiene mejor jugando C en lugar de D y nunca peor, C domina débilmente a D. A pesar de esto ,${\displaystyle (D,D)}$es un equilibrio de Nash. Supongamos que ambos jugadores eligen D. Ninguno de los jugadores mejorará si se desvía unilateralmente ; si un jugador cambia a jugar C, seguirá obteniendo 0. Esto satisface los requisitos de un equilibrio de Nash. Supongamos que ambos jugadores eligen C. Ninguno de los jugadores mejorará si se desvía unilateralmente; si un jugador cambia a jugar D, obtendrá 0. Esto también satisface los requisitos de un equilibrio de Nash.

La eliminación iterativa de estrategias dominadas (también conocida como IESDS, IDSDS o IRSDS) es una técnica común para resolver juegos que implica la eliminación iterativa de estrategias dominadas. En el primer paso, todas las estrategias dominadas se eliminan del espacio de estrategias de cada jugador, ya que ningún jugador racional las utilizaría. Esto da como resultado un juego nuevo y más pequeño. Algunas estrategias , que antes no estaban dominadas , pueden estarlo en este juego más pequeño. El primer paso se repite, creando un juego aún más pequeño, y así sucesivamente.

Este proceso es válido puesto que se supone que la racionalidad entre los jugadores es de conocimiento común , es decir, cada jugador sabe que el resto de los jugadores son racionales, y cada jugador sabe que el resto de los jugadores saben que él sabe que el resto de los jugadores son racionales, y así sucesivamente hasta el infinito (véase Aumann, 1976).

La eliminación iterativa (o supresión) de estrategias débilmente dominadas (también denominada IEWDS, IDWDS o IRWDS) es un procedimiento en los juegos de estrategia en el que se elimina iterativamente del conjunto de estrategias de cada jugador cualquier estrategia que esté débilmente dominada (es decir, que nunca produzca una recompensa mayor y que a veces produzca una recompensa estrictamente menor que otra estrategia), utilizando el juego reducido en cada ronda como base para una mayor eliminación.

Si bien IEWDS generaliza el proceso de eliminación iterada de estrategias estrictamente dominadas (IESDS), difiere en varios aspectos importantes: el resultado puede depender del orden en que se eliminan las estrategias débilmente dominadas (es decir, generalmente no es independiente del orden). ^{[ 3 ]}

Además, aunque cualquier perfil de estrategia que sobreviva a IEWDS debe satisfacer una cierta condición de racionalidad cautelosa (los jugadores nunca juegan estrategias débilmente dominadas dadas creencias de apoyo total sobre los oponentes), el proceso de eliminación puede excluir algunos equilibrios de Nash del juego original. ^{[ 3 ]}

Entre los casos de uso del método se incluyen la simplificación de juegos en los que existen relaciones de dominancia débiles y el análisis de juegos bajo supuestos de "creencia cautelosa". Por ejemplo, trabajos recientes demuestran que, en ciertos juegos de forma extensiva bien fundamentados, la aplicación máxima de IEWDS puede reducir el juego a un subjuego trivial que contiene un único equilibrio perfecto en subjuegos.

• Estrategia dominada por Max
• Dominio del riesgo
• Estrategia ganadora

• Fudenberg, Drew; Tirole, Jean (1993). Teoría de juegos . MIT Press.
• Gibbons, Robert (1992). Teoría de juegos para economistas aplicados . Princeton University Press. ISBN 0-691-00395-5.
• Gintis, Herbert (2000). Teoría de juegos en evolución . Princeton University Press. ISBN 0-691-00943-0.
• Leyton-Brown, Kevin; Shoham, Yoav (2008). Fundamentos de la teoría de juegos: una introducción concisa y multidisciplinaria . San Rafael, CA: Morgan & Claypool Publishers. ISBN 978-1-59829-593-1.Una introducción matemática de 88 páginas; véase la sección 3.3. Disponible gratuitamente en línea en muchas universidades.
• Rapoport, A. (1966). Teoría de juegos para dos personas: las ideas esenciales . University of Michigan Press.
• Curso de teoría de juegos de Jim Ratliff: Dominio estratégico
• Shoham, Yoav; Leyton-Brown, Kevin (2009). Sistemas multiagente: Fundamentos algorítmicos, de teoría de juegos y lógicos . Nueva York: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-89943-7.Una referencia completa desde una perspectiva computacional; véanse las secciones 3.4.3 y 4.5. Disponible para descarga gratuita en línea .
• "Dominancia estricta en estrategias mixtas: Introducción a la teoría de juegos". gametheory101.com . Consultado el 17 de diciembre de 2021.
• Watson Joel. Estrategia  : Una introducción a la teoría de juegos . Tercera edición. WW Norton & Company 2013.

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