Diferencia de gaussianas

En el campo de la imagen , la diferencia de gaussianas ( DoG ) es un algoritmo de mejora de características que consiste en la resta de una versión desenfocada gaussiana de una imagen original de otra versión menos desenfocada de la misma. En el caso simple de imágenes en escala de grises , las imágenes desenfocadas se obtienen mediante la convolución de las imágenes originales en escala de grises con núcleos gaussianos de diferente ancho (desviación estándar). El desenfoque de una imagen mediante un núcleo gaussiano suprime únicamente la información espacial de alta frecuencia . La resta de una imagen de la otra preserva la información espacial que se encuentra dentro del rango de frecuencias preservadas en las dos imágenes desenfocadas. Por lo tanto, la DoG es un filtro de paso de banda espacial que atenúa las frecuencias en la imagen original en escala de grises que están lejos del centro de la banda. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle \Phi _{t}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$denotamos la función gaussiana radial${\displaystyle \Phi _{t}(x)={\mathcal {N}}(x|0,t)}$con significa${\displaystyle 0}$y varianza${\displaystyle t}$, es decir, la función gaussiana multivariada${\displaystyle \Phi _ {t}(x)={\mathcal {N}}(x|0,tI)}$con significa${\displaystyle 0}$y covarianza${\displaystyle tI}$. Más explícitamente, tenemos

${\displaystyle \Phi _{t}(x)={\frac {1}{(2\pi {}t)^{n/2}}}e^{-{\frac {\|x\|^{2}}{2t}}}.}$

La diferencia de gaussianas con varianzas${\displaystyle t_{1}<t_{2}}$es la función kernel

${\displaystyle K_{t_{1},t_{2}}=\Phi _{t_{1}}-\Phi _{t_{2}}}$

obtenido al restar la gaussiana de mayor varianza de la gaussiana de menor varianza. El operador de diferencia de gaussianas es el operador convolucional asociado con esta función kernel. Por lo tanto, dada una imagen en escala de grises n -dimensional${\displaystyle I:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$, la diferencia de gaussianas de la imagen${\displaystyle I}$es la imagen n -dimensional

${\displaystyle I*K_{t_{1},t_{2}}=I*(\Phi _{t_{1}}-\Phi _{t_{2}})=I*\Phi _{t_{1}}-I*\Phi _{t_{2}}.}$

Dado que la convolución es bilineal, convolucionar contra la diferencia de gaussianas equivale a aplicar dos desenfoques gaussianos diferentes y luego calcular la diferencia. En la práctica, esto es más rápido porque el desenfoque gaussiano es un filtro separable .

Como algoritmo de mejora de características , la diferencia de gaussianas se puede utilizar para aumentar la visibilidad de los bordes y otros detalles presentes en una imagen digital. Una amplia variedad de filtros alternativos de nitidez de bordes funcionan mejorando los detalles de alta frecuencia, pero debido a que el ruido aleatorio también tiene una alta frecuencia espacial, muchos de estos filtros tienden a aumentar el ruido, lo que puede ser un artefacto indeseable. El algoritmo de diferencia de gaussianas elimina los detalles de alta frecuencia que a menudo incluyen ruido aleatorio, lo que hace que este enfoque sea uno de los más adecuados para procesar imágenes con un alto grado de ruido. Una desventaja importante de la aplicación del algoritmo es una reducción inherente en el contraste general de la imagen producida por la operación. ^{[ 1 ]}

Cuando se utiliza para mejorar imágenes, el algoritmo de diferencia de gaussianas se aplica normalmente cuando la relación de tamaño del núcleo (2) al núcleo (1) es de 4:1 o 5:1. En las imágenes de ejemplo, los tamaños de los núcleos gaussianos empleados para suavizar la imagen de muestra fueron de 10 píxeles y 5 píxeles.

El algoritmo también puede utilizarse para obtener una aproximación del Laplaciano de Gauss cuando la relación entre el tamaño 2 y el tamaño 1 es aproximadamente igual a 1,6. ^{[ 3 ]} El Laplaciano de Gauss es útil para detectar bordes que aparecen en diversas escalas de imagen o grados de enfoque de la imagen. Los valores exactos de los tamaños de los dos núcleos que se utilizan para aproximar el Laplaciano de Gauss determinarán la escala de la imagen de diferencia, que puede aparecer borrosa como resultado.

Las diferencias de gaussianas también se han utilizado para la detección de blobs en la transformación de características invariantes a la escala (SIFT). De hecho, la DoG, como diferencia de dos distribuciones normales multivariadas, siempre tiene una suma nula total y su convolución con una señal uniforme no genera respuesta. Se aproxima bien a la segunda derivada de una gaussiana ( laplaciano de gaussiana ) con K~1,6 y a los campos receptivos de las células ganglionares de la retina con K~5. Puede utilizarse fácilmente en esquemas recursivos y se emplea como operador en algoritmos en tiempo real para la detección de blobs y la selección automática de escala.

In its operation, the difference of Gaussians algorithm is believed to mimic how neural processing in the retina of the eye extracts details from images destined for transmission to the brain.^[4][5][6]

• Marr–Hildreth algorithm
• Treatment of the difference of Gaussians approach in blob detection.
• Blob detection
• Gaussian pyramid
• Scale space

• Notes by Melisa Durmuş on Edge Detection and Gaussian related mathematics from the University of Edinburgh.