Ecuación de Poisson discreta

En matemáticas , la ecuación de Poisson discreta es el análogo en diferencias finitas de la ecuación de Poisson . En ella, el operador de Laplace discreto reemplaza al operador de Laplace . La ecuación de Poisson discreta se utiliza frecuentemente en análisis numérico como sustituto de la ecuación de Poisson continua, aunque también se estudia como tema independiente en matemáticas discretas .

Utilizando el método numérico de diferencias finitas para discretizar la ecuación de Poisson bidimensional (suponiendo una discretización espacial uniforme ,${\displaystyle \Delta x=\Delta y}$) en una cuadrícula m × n da la siguiente fórmula: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle ({\nabla }^{2}u)_{ij}={\frac {1}{\Delta x^{2}}}(u_{i+1,j}+u_{i-1,j}+u_{i,j+1}+u_{i,j-1}-4u_{ij})=g_{ij}}$$ dónde${\displaystyle 2\leq i\leq m-1}$y${\displaystyle 2\leq j\leq n-1}$La disposición preferida del vector solución es utilizar un ordenamiento natural que, antes de eliminar los elementos de contorno, tendría el siguiente aspecto: $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{11},u_{21},\ldots ,u_{m1},u_{12},u_{22},\ldots ,u_{m2},\ldots ,u_{mn}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$$

Esto dará como resultado un sistema lineal de mn × mn : $${\displaystyle A\mathbf {u} =\mathbf {b} }$$ dónde $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}~D&-I&~0&~0&~0&\cdots &~0\\-I&~D&-I&~0&~0&\cdots &~0\\~0&-I&~D&-I&~0&\cdots &~0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\~0&\cdots &~0&-I&~D&-I&~0\\~0&\cdots &\cdots &~0&-I&~D&-I\\~0&\cdots &\cdots &\cdots &~0&-I&~D\end{bmatrix}},}$$

${\displaystyle I}$es la matriz identidad m × m , y${\displaystyle D}$, también m × m , viene dado por: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle D={\begin{bmatrix}~4&-1&~0&~0&~0&\cdots &~0\\-1&~4&-1&~0&~0&\cdots &~0\\~0&-1&~4&-1&~0&\cdots &~0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\~0&\cdots &~0&-1&~4&-1&~0\\~0&\cdots &\cdots &~0&-1&~4&-1\\~0&\cdots &\cdots &\cdots &~0&-1&~4\end{bmatrix}},}$$ y${\displaystyle \mathbf {b} }$se define por $${\displaystyle \mathbf {b} =-\Delta x^{2}{\begin{bmatrix}g_{11},g_{21},\ldots ,g_{m1},g_{12},g_{22},\ldots ,g_{m2},\ldots ,g_{mn}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}.}$$

Para cada${\displaystyle u_{ij}}$ecuación, las columnas de${\displaystyle D}$corresponder a un bloque de${\displaystyle m}$componentes en${\displaystyle u}$: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1j},&u_{2j},&\ldots ,&u_{i-1,j},&u_{ij},&u_{i+1,j},&\ldots ,&u_{mj}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$$ mientras que las columnas de${\displaystyle I}$a la izquierda y a la derecha de${\displaystyle D}$cada uno corresponde a otros bloques de${\displaystyle m}$componentes dentro${\displaystyle u}$: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1,j-1},&u_{2,j-1},&\ldots ,&u_{i-1,j-1},&u_{i,j-1},&u_{i+1,j-1},&\ldots ,&u_{m,j-1}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$$ y $${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1,j+1},&u_{2,j+1},&\ldots ,&u_{i-1,j+1},&u_{i,j+1},&u_{i+1,j+1},&\ldots ,&u_{m,j+1}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$$

respectivamente.

De lo anterior se puede inferir que hay${\displaystyle n}$columnas de bloques de${\displaystyle m}$en${\displaystyle A}$. Valores prescritos de${\displaystyle u}$(generalmente ubicados en el límite) verían eliminados sus elementos correspondientes.${\displaystyle I}$y${\displaystyle D}$. Para el caso común en que todos los nodos en el límite están establecidos, tenemos${\displaystyle 2\leq i\leq m-1}$y${\displaystyle 2\leq j\leq n-1}$y el sistema tendría las dimensiones ( m − 2)( n − 2) × ( m − 2)( n − 2) , donde${\displaystyle D}$y${\displaystyle I}$tendría dimensiones ( m − 2) × ( m − 2) . 

Para un 3×3 (${\displaystyle m=3}$y${\displaystyle n=3}$) cuadrícula con todos los nodos de contorno prescritos, el sistema se vería así: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}U\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{22},u_{32},u_{42},u_{23},u_{33},u_{43},u_{24},u_{34},u_{44}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$$ con $${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{ccc|ccc|ccc}~4&-1&~0&-1&~0&~0&~0&~0&~0\\-1&~4&-1&~0&-1&~0&~0&~0&~0\\~0&-1&~4&~0&~0&-1&~0&~0&~0\\\hline -1&~0&~0&~4&-1&~0&-1&~0&~0\\~0&-1&~0&-1&~4&-1&~0&-1&~0\\~0&~0&-1&~0&-1&~4&~0&~0&-1\\\hline ~0&~0&~0&-1&~0&~0&~4&-1&~0\\~0&~0&~0&~0&-1&~0&-1&~4&-1\\~0&~0&~0&~0&~0&-1&~0&-1&~4\end{array}}\right]}$$ y

$${\displaystyle \mathbf {b} =\left[{\begin{array}{l}-\Delta x^{2}g_{22}+u_{12}+u_{21}\\-\Delta x^{2}g_{32}+u_{31}~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{42}+u_{52}+u_{41}\\-\Delta x^{2}g_{23}+u_{13}~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{33}~~~~~~~~~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{43}+u_{53}~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{24}+u_{14}+u_{25}\\-\Delta x^{2}g_{34}+u_{35}~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{44}+u_{54}+u_{45}\end{array}}\right].}$$

Como se puede observar, el límite${\displaystyle u}$Los se trasladan al lado derecho de la ecuación. ^{[ 3 ]} Todo el sistema es de 9 × 9 mientras${\displaystyle D}$y${\displaystyle I}$son 3 × 3 y están dadas por: $${\displaystyle D={\begin{bmatrix}~4&-1&~0\\-1&~4&-1\\~0&-1&~4\\\end{bmatrix}}}$$ y $${\displaystyle -I={\begin{bmatrix}-1&~0&~0\\~0&-1&~0\\~0&~0&-1\end{bmatrix}}.}$$

Porque${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}}$es tridiagonal por bloques y disperso, se han desarrollado muchos métodos de solución para resolver de manera óptima este sistema lineal para${\displaystyle {\begin{bmatrix}U\end{bmatrix}}}$Entre los métodos se encuentra un algoritmo de Thomas generalizado con una complejidad computacional resultante de${\displaystyle O(n^{2.5})}$, reducción cíclica , sobrerrelajación sucesiva que tiene una complejidad de${\displaystyle O(n^{1.5})}$y transformadas rápidas de Fourier que es${\displaystyle O(n\log(n))}$. Un óptimo${\displaystyle O(n)}$La solución también se puede calcular utilizando métodos multigrid . ^{[ 4 ]}

En dinámica de fluidos computacional , para la solución de un problema de flujo incompresible , la condición de incompresibilidad actúa como una restricción para la presión. En este caso, no existe una forma explícita para la presión debido al fuerte acoplamiento entre los campos de velocidad y presión. En esta condición, al tomar la divergencia de todos los términos en la ecuación de momento, se obtiene la ecuación de Poisson de la presión.

Para un flujo incompresible, esta restricción viene dada por: $${\displaystyle {\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}=0}$$ dónde${\displaystyle v_{x}}$es la velocidad en el${\displaystyle x}$dirección,${\displaystyle v_{y}}$es la velocidad en${\displaystyle y}$y${\displaystyle v_{z}}$es la velocidad en el${\displaystyle z}$dirección. Tomando la divergencia de la ecuación de momento y utilizando la restricción de incompresibilidad, la ecuación de Poisson de presión se forma dada por: $${\displaystyle \nabla ^{2}p=f(\nu ,V)}$$ dónde${\displaystyle \nu }$es la viscosidad cinemática del fluido y${\displaystyle V}$es el vector de velocidad. ^{[ 5 ]}

La ecuación discreta de Poisson surge en la teoría de las cadenas de Markov . Aparece como la función de valor relativo para la ecuación de programación dinámica en un proceso de decisión de Markov , y como la variable de control para su aplicación en la reducción de la varianza de la simulación . ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

• Hoffman, Joe D., Métodos numéricos para ingenieros y científicos, 4.ª ed. , McGraw-Hill Inc., Nueva York, 1992.
• Sweet, Roland A. , SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol. 11, No. 3 , junio de 1974, 506–520.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). «Sección 20.4. Métodos de Fourier y de reducción cíclica» . Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3.ª  ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8Archivado del original el 11 de agosto de 2011. Consultado el 18 de agosto de 2011 .