espacio de Dirichlet

En matemáticas , el espacio de Dirichlet en el dominio ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} ,\,{\mathcal {D}}(\Omega )}$(nombrado en honor a Peter Gustav Lejeune Dirichlet ), es el espacio de Hilbert de núcleo reproductor de funciones holomorfas , contenido dentro del espacio de Hardy.${\displaystyle H^{2}(\Omega)}$, para la cual la integral de Dirichlet , definida por

${\displaystyle {\mathcal {D}}(f):={1 \over \pi }\iint _ {\Omega }|f^{\prime }(z)|^{2}\,dA={1 \over 4\pi }\iint _ {\Omega }|\partial _ {x}f|^{2}+|\partial _ {y}f|^{2}\,dx\,dy}$

es finito (aquí dA denota la medida de Lebesgue del área en el plano complejo)${\displaystyle \mathbb {C} }$). Esta última es la integral que aparece en el principio de Dirichlet para funciones armónicas . La integral de Dirichlet define una seminorma en${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega)}$No es una norma en general, ya que${\displaystyle {\mathcal {D}}(f)=0}$siempre que f sea una función constante .

Para${\displaystyle f,\,g\in {\mathcal {D}}(\Omega )}$, definimos

${\displaystyle {\mathcal {D}}(f,\,g):={1 \over \pi }\iint _{\Omega }f'(z){\overline {g'(z)}}\,dA(z).}$

Este es un producto semi-interno y claramente${\displaystyle {\mathcal {D}}(f,\,f)={\mathcal {D}}(f)}$Podemos equipar${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega)}$con un producto interno dado por

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{{\mathcal {D}}(\Omega )}:=\langle f,\,g\rangle _{H^{2}(\Omega )}+{\mathcal {D}}(f,\,g)\;\;\;\;\;(f,\,g\in {\mathcal {D}}(\Omega )),}$

dónde${\displaystyle \langle \cdot ,\,\cdot \rangle _{H^{2}(\Omega )}}$es el producto interno habitual en${\displaystyle H^{2}(\Omega).}$La norma correspondiente${\displaystyle \|\cdot \|_{{\mathcal {D}}(\Omega )}}$es dado por

${\displaystyle \|f\|_{{\mathcal {D}}(\Omega )}^{2}:=\|f\|_{H^{2}(\Omega )}^{2}+{\mathcal {D}}(f)\;\;\;\;\;(f\in {\mathcal {D}}(\Omega )).}$

Tenga en cuenta que esta definición no es única, otra opción común es tomar${\displaystyle \|f\|^{2}=|f(c)|^{2}+{\mathcal {D}}(f)}$, para algún fijo${\displaystyle c\in \Omega }$.

El espacio de Dirichlet no es un álgebra , sino el espacio${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )\cap H^{\infty }(\Omega )}$es un álgebra de Banach , con respecto a la norma

${\displaystyle \|f\|_{{\mathcal {D}}(\Omega )\cap H^{\infty }(\Omega )}:=\|f\|_{H^{\infty }(\Omega )}+{\mathcal {D}}(f)^{1/2}\;\;\;\;\;(f\in {\mathcal {D}}(\Omega )\cap H^{\infty }(\Omega )).}$

Normalmente tenemos${\displaystyle \Omega =\mathbb {D} }$(el disco unitario del plano complejo)${\displaystyle \mathbb {C} }$), en ese caso${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {D} ):={\mathcal {D}}}$y si

${\displaystyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}\;\;\;\;\;(f\in {\mathcal {D}}),}$

entonces

${\displaystyle D(f)=\sum _{n\geq 1}n|a_{n}|^{2},}$

y

${\displaystyle \|f\|_{\mathcal {D}}^{2}=\sum _{n\geq 0}(n+1)|a_{n}|^{2}.}$

Claramente,${\displaystyle {\mathcal {D}}}$contiene todos los polinomios y, más generalmente, todas las funciones${\displaystyle f}$, holomorfo en${\displaystyle \mathbb {D} }$de tal manera que${\displaystyle f'}$está delimitado por${\displaystyle \mathbb {D} }$.

El núcleo reproductor de${\displaystyle {\mathcal {D}}}$en${\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$es dado por

${\displaystyle k_{w}(z)={\frac {1}{z{\overline {w}}}}\log \left({\frac {1}{1-z{\overline {w}}}}\right)\;\;\;\;\;(z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}).}$

• Espacio Banach
• Espacio Bergman
• Espacio resistente
• espacio de Hilbert

• Arcozzi, Nicola; Rochberg, Richard; Sawyer, Eric T.; Wick, Brett D. (2011), " El espacio de Dirichlet: una revisión" (PDF) , New York J. Math. , 17a : 45–86
• El-Fallah, Omar; Kellay, Karim; Mashreghi, Javad; Ransford, Thomas (2014). Introducción al espacio de Dirichlet . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04752-5.