Línea de retardo digital

La solución conceptualmente más sencilla se obtiene muestreando la solución en el dominio del tiempo continuo, lo cual es trivial para cualquier valor de retardo. Dada una señal de tiempo continuo${\displaystyle x}$retrasado por${\displaystyle D\in \mathbb {R} }$muestras o ${\displaystyle \tau =DT_{s}}$segundos ^{[ 6 ]} :

${\displaystyle y(t)=x(tD)}$${\displaystyle {\xrightarrow[{}]{\mathcal {F}}}}$${\displaystyle Y(\omega )=\overbrace {e^{-j\omega D}} ^{H_{ideal}(\omega )}X(\omega ).}$

En este caso,${\displaystyle e^{-j\omega D}=H_{ideal}(\omega)}$es el filtro de retardo fraccional en el dominio del tiempo continuo con:

${\displaystyle {\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB,&{\text{ganancia cero en dB}}\\\measuredangle =-\omega D,&{\text{fase lineal}}\\\tau _{gr}=-{d\measuredangle \over {d\omega }}=D,&{\text{retardo de grupo constante}}\\\tau _{ph}=-{\measuredangle \over {\omega }}=-D,&{\text{retardo de fase constante.}}\end{cases}}}$

La solución ingenua para el filtro muestreado${\displaystyle h_{ideal}[n]}$es la transformada inversa de Fourier muestreada de${\displaystyle H_{ideal}(\omega )}$, que produce un filtro IIR no causal con forma de seno cardinal${\displaystyle sinc()}$desplazado por${\displaystyle D}$^{[ 6 ]} :

${\displaystyle h_{ideal}[n]={\mathcal {F}}^{-1}[H_{ideal}(\omega )]={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{+\pi }e^{j\omega D}e^{j\omega n}d\omega =sinc(n-D)={sin(\pi (n-D)) \over {\pi (n-D)}}}$

El dominio de tiempo continuo${\displaystyle sinc}$se desplaza por el retardo fraccional mientras que el muestreo siempre está alineado con el plano cartesiano, por lo tanto:

• cuando el retardo es un número entero de muestras${\displaystyle D\in \mathbb {N} }$, el desplazamiento muestreado${\displaystyle sinc}$degenera en un impulso desplazado, al igual que en la solución teórica.
• cuando el retardo es un número fraccional de muestras${\displaystyle D\in \mathbb {R} }$, el desplazamiento muestreado${\displaystyle sinc}$Produce un filtro IIR no causal, que no es implementable en la práctica.

La solución conceptualmente más fácil de implementar es la truncación causal de la solución ingenua anterior. ^{[ 7 ]}

${\displaystyle h_{\tau }[n]={\begin{cases}sinc(n-D)&{\text{for }}0\leq n\leq N\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;{N-1 \over {2}}<D<{N+1 \over {2}}\;\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;\;N\;{\text{is the order of the filter.}}}$

Sin embargo, truncar la respuesta impulsional podría causar inestabilidad, la cual puede mitigarse de varias maneras:

• Se aplica una ventana a la respuesta impulsional truncada, suavizándola. Nótese que en este caso debemos añadir un desplazamiento adicional.${\displaystyle L}$para alinear la ventana y la${\displaystyle sinc()}$y proporcionar filtrado simétrico ^{[ 7 ] [ 8 ]} .

  ${\displaystyle h_{\tau }[n]={\begin{cases}w(n-D)sinc(n-D)&{\text{for }}L\leq n\leq L+N\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;L={\begin{cases}round(D)-{N \over {2}}&{\text{for even }}N\\\lfloor D\rfloor -{N-1 \over {2}}&{\text{for odd }}N\end{cases}}}$

• Método de mínimos cuadrados generales (GLS): ^{[ 2 ]} ajusta iterativamente la respuesta en frecuencia mediante el uso de una ventana para un diseño de error integral de mínimos cuadrados, que minimiza el error integral cuadrático entre las respuestas en frecuencia ideal y truncada del filtro, definido como:

${\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\alpha \pi }^{\alpha \pi }w(\omega )|H_{D}^{truncated}(e^{j\omega })-H_{D}^{id}(e^{j\omega })|^{2}d\omega \;\;\;\;\;{\text{where }}0<\alpha \leq 1{\text{ is the passband width parameter}}}$

• Interpolador de Lagrange (Filtro de retardo fraccional máximamente plano): ^{[ 9 ]} agrega restricciones de "planitud" a las primeras N derivadas del error integral de mínimos cuadrados. Este método es de particular interés porque tiene una solución en forma cerrada:

${\displaystyle h_{D}[n]=\prod _{k=0,\;k\neq n}^{N}{D-k \over {n-k}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;0\leq n\leq N}$

A continuación se muestra una expansión de la fórmula anterior que presenta los filtros resultantes de orden hasta${\displaystyle N=3}$:

Otro enfoque consiste en diseñar un filtro IIR de orden${\displaystyle N}$con una estructura de transformación Z que lo obliga a ser un paso total mientras aún se aproxima a un${\displaystyle D}$retraso ^{[ 7 ]} :

${\displaystyle H_{D}(z)={z^{-N}A(z) \over {A(z^{-1})}}={a_{N}+a_{N-1}z^{-1}+...+a_{1}z^{-(N-1)}+z^{-N} \over {1+a_{1}z^{-1}+...+a_{N-1}z^{-(N-1)}+a_{N}z^{-N}}}\;\;\;\;\;{\text{which has}}\;\;\;\;\;{\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB&0dB{\text{ gain}}\\\measuredangle _{H_{D}(z)}=-N\omega +2\measuredangle _{A(z)}=-D\omega &{\text{desired value for delay }}D\end{cases}}}$

Los ceros y polos colocados recíprocamente de${\displaystyle A(z){\text{ and }}A(z^{-1})}$respectivamente aplanan la frecuencia${\displaystyle |\centerdot |}$respuesta , mientras que la fase es función de la fase de${\displaystyle A(z)}$Por lo tanto, el problema radica en diseñar el filtro FIR .${\displaystyle A(z)}$, es decir, encontrar sus coeficientes${\displaystyle a_{k}}$como función de D (nótese que${\displaystyle a_{0}=1}$siempre), de modo que la fase se aproxime lo mejor posible al valor deseado.${\displaystyle \measuredangle _{H_{D}(z)}=-D\omega }$. ^{[ 7 ]}

Las principales soluciones son:

• Minimización iterativa del error de fase de mínimos cuadrados, ^{[ 2 ]} que se define como:

${\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }w(\omega )|\underbrace {\underbrace {-D\omega } _{\measuredangle _{ID}}-\underbrace {(-N\omega +2\measuredangle _{A(z)})} _{\measuredangle _{H}}} _{\Delta \measuredangle _{H_{D}}}|^{2}d\omega }$

• Minimización iterativa del error de retardo de fase de mínimos cuadrados , ^{[ 2 ]} que se define como:

${\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }w(\omega )|{{\Delta \measuredangle _{H_{D}}} \over {\omega }}|^{2}}$

• Filtro paso bajo de polos totales de Thiran con retardo de grupo máximamente plano . ^{[ 11 ]} Esto produce una solución cerrada para encontrar los coeficientes.${\displaystyle a_{k}}$para retraso positivo${\displaystyle D>0}$:

${\displaystyle a_{k}=(-1)^{k}{\binom {N}{k}}\prod _{l=0}^{N}{D+l \over {D+k+l}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;{\binom {n}{k}}={N! \over {k!(N-k)!}}}$

A continuación se presenta una expansión de la fórmula anterior que muestra los coeficientes resultantes de orden hasta${\displaystyle N=3}$: