Ecuación de transferencia radiativa y teoría de difusión para el transporte de fotones en tejido biológico

El transporte de fotones en el tejido biológico puede modelarse numéricamente mediante simulaciones de Monte Carlo o analíticamente mediante la ecuación de transferencia radiativa (ETR). Sin embargo, la ETR es difícil de resolver sin introducir aproximaciones. Una aproximación común, resumida aquí, es la aproximación de difusión. En general, las soluciones a la ecuación de difusión para el transporte de fotones son computacionalmente más eficientes, pero menos precisas que las simulaciones de Monte Carlo. ^{[ 1 ]}

Definiciones

Figura 1: Esquema del flujo de energía a través de un elemento de área diferencial. $dA$ en posición ${\vec {r}}$ dentro de un elemento de ángulo sólido diferencial $d\Omega$ .

{\displaystyle dA} — Figura 1: Esquema del flujo de energía a través de un elemento de área diferencial. $dA$ en posición ${\vec {r}}$ dentro de un elemento de ángulo sólido diferencial $d\Omega$ .

La RTE puede modelar matemáticamente la transferencia de energía a medida que los fotones se mueven dentro de un tejido. El flujo de energía de radiación a través de un pequeño elemento de área en el campo de radiación se puede caracterizar por la radiancia. $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)$ con unidades ${\textstyle \mathrm {\frac {W}{m^{2}{sr}}} }$ . La radiancia se define como el flujo de energía por unidad de área normal por unidad de ángulo sólido por unidad de tiempo. Aquí, ${\vec {r}}$ denota posición, ${\hat {s}}$ denota el vector de dirección unitaria y $t$ denota tiempo (Figura 1). Varias otras cantidades físicas importantes se basan en la definición de radiancia: ^{[ 1 ]}

Frecuencia o intensidad $\Phi ({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }L({\vec {r}},{\hat {s}},t)\,d\Omega$ medido en $\mathrm {W/m^{2}}$ .
Fluidez $F({\vec {r}})=\int _{-\infty }^{+\infty }\Phi ({\vec {r}},t)\,dt$ medido en $\mathrm {J/m^{2}}$ .
Densidad de corriente ( flujo de energía ) ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=\int _{4\pi }{\hat {s}}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)\,d\Omega$ medido en $\mathrm {W/m^{2}}$ . Este es el vector equivalente de la tasa de fluencia que apunta en la dirección predominante del flujo de energía.

Ecuación de transferencia radiativa

La RTE es una ecuación diferencial que describe la radiancia. $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)$ Se puede derivar mediante la conservación de la energía . En resumen, la ecuación de transferencia radiactiva (ETR) establece que un haz de luz pierde energía por divergencia y extinción (incluyendo tanto la absorción como la dispersión que se aleja del haz) y gana energía de las fuentes de luz en el medio y la dispersión dirigida hacia el haz. Se desprecian la coherencia , la polarización y la no linealidad. Propiedades ópticas como el índice de refracción $n$ , coeficiente de absorción $μ a$ , coeficiente de dispersión $μ s$ , y anisotropía de dispersión $g$ se consideran invariantes en el tiempo, pero pueden variar espacialmente. Se supone que la dispersión es elástica. La ecuación de Boltzmann (RTE ) se escribe, por lo tanto, como: ^{[ 1 ]} ${\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)=-{\hat {s}}\cdot \nabla L({\vec {r}},{\hat {s}},t)-\mu _{t}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)+\mu _{s}\int _{4\pi }L({\vec {r}},{\hat {s}}',t)P({\hat {s}}',{\hat {s}})d\Omega '+S({\vec {r}},{\hat {s}},t)$ dónde

$c$ es la velocidad de la luz en el tejido, determinada por el índice de refracción relativo
$μ t = μ a + μ s$ es el coeficiente de extinción
$P({\hat {s}}',{\hat {s}})$ es la función de fase, que representa la probabilidad de luz con dirección de propagación ${\hat {s}}'$ estando dispersos en ángulo sólido $d\Omega$ alrededor ${\hat {s}}$ En la mayoría de los casos, la función de fase depende únicamente del ángulo entre los puntos dispersos. ${\hat {s}}'$ incidente ${\hat {s}}$ direcciones, es decir $P({\hat {s}}',{\hat {s}})=P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})$ La anisotropía de dispersión se puede expresar como ${\textstyle g=\int _{4\pi }\left({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}}\right)P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})\,d\Omega }$
$S({\vec {r}},{\hat {s}},t)$ describe la fuente de luz.

teoría de la difusión

Supuestos

En el RTE, seis variables independientes diferentes definen la radiancia en cualquier punto espacial y temporal ( $x$ , $y$ , y $z$ de ${\vec {r}}$ ángulo polar $\theta$ y ángulo azimutal $\phi$ de ${\hat {s}}$ , y $t$ Al realizar suposiciones apropiadas sobre el comportamiento de los fotones en un medio dispersivo, se puede reducir el número de variables independientes. Estas suposiciones conducen a la teoría de difusión (y a la ecuación de difusión) para el transporte de fotones. Dos suposiciones permiten la aplicación de la teoría de difusión a la ecuación de transporte radiactivo:

En comparación con los eventos de dispersión, hay muy pocos eventos de absorción. Del mismo modo, tras numerosos eventos de dispersión, se producirán pocos eventos de absorción y la radiancia se volverá casi isotrópica. Esta suposición se conoce a veces como ensanchamiento direccional.
En un medio predominantemente dispersivo, el tiempo necesario para un cambio sustancial en la densidad de corriente es mucho mayor que el tiempo que tarda en recorrerse un camino libre medio de transporte. Por lo tanto, en un camino libre medio de transporte, el cambio fraccional en la densidad de corriente es mucho menor que la unidad. Esta propiedad se conoce a veces como ensanchamiento temporal.

Ambas suposiciones requieren un medio de alto albedo (predominantemente dispersor). ^{[ 1 ]}

La ecuación de transporte radiactivo en la aproximación de difusión

La radiancia se puede expandir sobre un conjunto base de armónicos esféricos. $Y_{n,m}$ En la teoría de la difusión, se considera que la radiancia es en gran medida isotrópica, por lo que solo se utilizan los términos isotrópicos y anisotrópicos de primer orden: ${\textstyle L({\vec {r}},{\hat {s}},t)\approx \ \sum _{n=0}^{1}\sum _{m=-n}^{n}L_{n,m}({\vec {r}},t)Y_{n,m}({\hat {s}})}$ dónde $L_{n,m}$ son los coeficientes de expansión. La radiancia se expresa con 4 términos: uno para n = 0 (el término isotrópico) y 3 términos para $n = 1$ (los términos anisotrópicos). Utilizando las propiedades de los armónicos esféricos y las definiciones de la tasa de fluencia $\Phi ({\vec {r}},t)$ y densidad de corriente ${\vec {J}}({\vec {r}},t)$ Los términos isotrópicos y anisotrópicos se pueden expresar respectivamente de la siguiente manera:

$L_{0,0}({\vec {r}},t)Y_{0,0}({\hat {s}})={\frac {\Phi ({\vec {r}},t)}{4\pi }}$
$\sum _{m=-1}^{1}L_{1,m}({\vec {r}},t)Y_{1,m}({\hat {s}})={\frac {3}{4\pi }}{\vec {J}}({\vec {r}},t)\cdot {\hat {s}}$

Por lo tanto, podemos aproximar la radiancia como ^{[ 1 ]} $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)={\frac {1}{4\pi }}\Phi ({\vec {r}},t)+{\frac {3}{4\pi }}{\vec {J}}({\vec {r}},t)\cdot {\hat {s}}$ Sustituyendo la expresión anterior para la radiancia, la RTE se puede reescribir respectivamente en formas escalar y vectorial de la siguiente manera (El término de dispersión de la RTE se integra sobre el rango completo). $4\pi$ ángulo sólido. Para la forma vectorial, el RTE se multiplica por la dirección ${\hat {s}}$ antes de la evaluación.): ^{[ 1 ]} ${\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}+\mu _{a}\Phi ({\vec {r}},t)+\nabla \cdot {\vec {J}}({\vec {r}},t)=S({\vec {r}},t)$ ${\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {J}}({\vec {r}},t)}{\partial t}}+(\mu _{a}+\mu _{s}'){\vec {J}}({\vec {r}},t)+{\frac {1}{3}}\nabla \Phi ({\vec {r}},t)=0$

La aproximación de difusión se limita a sistemas donde los coeficientes de dispersión reducidos son mucho mayores que sus coeficientes de absorción y que tienen un espesor mínimo de capa del orden de unos pocos caminos libres medios de transporte .

La ecuación de difusión

Utilizando el segundo supuesto de la teoría de la difusión, observamos que el cambio fraccional en la densidad de corriente ${\vec {J}}({\vec {r}},t)$ La desviación a lo largo de un camino libre medio de transporte es despreciable. La representación vectorial de la teoría de difusión RTE se reduce a la ley de Fick. ${\vec {J}}({\vec {r}},t)={\frac {-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ , que define la densidad de corriente en términos del gradiente de la tasa de fluencia. Sustituyendo la ley de Fick en la representación escalar de la RTE se obtiene la ecuación de difusión: ^{[ 1 ]} ${\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}+\mu _{a}\Phi ({\vec {r}},t)-\nabla \cdot [D\nabla \Phi ({\vec {r}},t)]=S({\vec {r}},t)$ $D={\frac {1}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ es el coeficiente de difusión y $μ' s = (1 - g) μ s$ es el coeficiente de dispersión reducido. Cabe destacar que no existe una dependencia explícita del coeficiente de dispersión en la ecuación de difusión. En cambio, solo aparece el coeficiente de dispersión reducido en la expresión para $D$ Esto da lugar a una relación importante: la difusión no se ve afectada si se cambia la anisotropía del medio de dispersión mientras el coeficiente de dispersión reducido permanece constante. ^{[ 1 ]}

Soluciones a la ecuación de difusión

Para diversas configuraciones de límites (por ejemplo, capas de tejido) y fuentes de luz, la ecuación de difusión puede resolverse aplicando las condiciones de contorno adecuadas y definiendo el término fuente. $S({\vec {r}},t)$ según lo requiera la situación.

Fuentes puntuales en medios homogéneos infinitos

En esta sección se presenta una solución a la ecuación de difusión para el caso simple de una fuente puntual de pulso corto en un medio homogéneo infinito. El término fuente en la ecuación de difusión se convierte en: $S({\vec {r}},t,{\vec {r}}',t')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')\delta (t-t')$ , dónde ${\vec {r}}$ es la posición en la que se mide la tasa de fluencia y ${\vec {r}}'$ es la posición de la fuente. El pulso alcanza su pico en el tiempo $t'$ La ecuación de difusión se resuelve para la tasa de fluencia para obtener la función de Green para la ecuación de difusión: $\Phi ({\vec {r}},t;{\vec {r}}',t)={\frac {c}{\left[4\pi Dc(t-t')\right]^{3/2}}}\exp \left[-{\frac {\mid {\vec {r}}-{\vec {r}}'\mid ^{2}}{4Dc(t-t')}}\right]\exp[-\mu _{a}c(t-t')]$ El término $\exp \left[-\mu _{a}c(t-t')\right]$ representa la disminución exponencial de la tasa de fluencia debido a la absorción de acuerdo con la ley de Beer . Los otros términos representan el ensanchamiento debido a la dispersión. Dada la solución anterior, una fuente arbitraria puede caracterizarse como una superposición de fuentes puntuales de pulsos cortos. Al eliminar la variación temporal de la ecuación de difusión, se obtiene lo siguiente para una fuente puntual independiente del tiempo. $S({\vec {r}})=\delta ({\vec {r}})$ : $\Phi ({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi Dr}}\exp(-\mu _{\mathrm {eff} }r)$ ${\textstyle \mu _{\mathrm {eff} }={\sqrt {\mu _{a}/D}}}$ es el coeficiente de atenuación efectivo e indica la tasa de decaimiento espacial de la fluencia. ^{[ 1 ]}

Condiciones de contorno

Tasa de fluencia en un límite

La consideración de las condiciones de contorno permite utilizar la ecuación de difusión para caracterizar la propagación de la luz en medios de tamaño limitado (donde deben considerarse las interfaces entre el medio y el entorno). Para comenzar a abordar un contorno, se puede considerar qué sucede cuando los fotones en el medio alcanzan un contorno (es decir, una superficie). La radiancia integrada direccionalmente en el contorno y dirigida hacia el medio es igual a la radiancia integrada direccionalmente en el contorno y dirigida hacia fuera del medio multiplicada por la reflectancia. $R_{F}$ : $\int _{{\hat {s}}\cdot {\hat {n}}<0}L({\vec {r}},{\hat {s}},t){\hat {s}}\cdot {\hat {n}}d\Omega =\int _{{\hat {s}}\cdot {\hat {n}}>0}R_{F}({\hat {s}}\cdot {\hat {n}})L({\vec {r}},{\hat {s}},t){\hat {s}}\cdot {\hat {n}}d\Omega$ dónde ${\hat {n}}$ es normal al límite y apunta en dirección opuesta a él. La aproximación de difusión proporciona una expresión para la radiancia. $L$ en términos de tasa de fluencia $\Phi$ y densidad de corriente ${\vec {J}}$ . Evaluando las integrales anteriores después de la sustitución se obtiene: ^{[ 3 ]} ${\frac {\Phi ({\vec {r}},t)}{4}}+{\vec {J}}({\vec {r}},t)\cdot {\frac {\hat {n}}{2}}=R_{\Phi }{\frac {\Phi ({\vec {r}},t)}{4}}-R_{J}{\vec {J}}({\vec {r}},t)\cdot {\frac {\hat {n}}{2}}$

$R_{\Phi }=\int _{0}^{\pi /2}2\sin \theta \cos \theta R_{F}(\cos \theta )d\theta$
$R_{J}=\int _{0}^{\pi /2}3\sin \theta (\cos \theta )^{2}R_{F}(\cos \theta )d\theta$

Sustituyendo la ley de Fick ( ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=-D\nabla \Phi ({\vec {r}},t)$ ) da, a una distancia del límite z =0, ^{[ 3 ]} $\Phi ({\vec {r}},t)=A_{z}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial z}}$

$A_{z}=2D{\frac {1+R_{\mathrm {eff} }}{1-R_{\mathrm {eff} }}}$
$R_{\mathrm {eff} }={\frac {R_{\Phi }+R_{J}}{2-R_{\Phi }+R_{J}}}$

El límite extrapolado

Es deseable identificar un límite de fluencia cero. Sin embargo, la tasa de fluencia $\Phi (z=0,t)$ en un límite físico, en general no es cero. Se puede determinar un límite extrapolado, en $z b$ para el cual la tasa de fluencia es cero, para establecer fuentes de imagen. Usando una aproximación de la serie de Taylor de primer orden, $\left.\Phi (z=-A_{z},t)\approx \Phi (z=0,t)-A_{z}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial z}}\right|_{z=0}$ lo cual se evalúa a cero ya que $\Phi ({\vec {r}},t)=A_{z}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial z}}$ Por lo tanto, por definición, $z b$ debe ser $- A z$ como se definió anteriormente. Cabe destacar que, cuando el índice de refracción es el mismo a ambos lados del límite, $R F$ es cero y el límite extrapolado se encuentra ^en $z b = - 2 D.$ ^[³ ]

Rayo de luz puntual incide normalmente sobre un medio semiinfinito.

Utilizando condiciones de contorno, se puede caracterizar aproximadamente la reflectancia difusa para un haz de lápiz que incide normalmente sobre un medio semiinfinito. El haz se representará como dos fuentes puntuales en un medio infinito como sigue (Figura 2): ^{[ 1 ]}^{[ 4 ]}

Anisotropía de dispersión de conjuntos $g_{2}=0$ para el medio de dispersión y establecer el nuevo coeficiente de dispersión $μ s2$ al $μ s1$ original multiplicado por $1-g_{1}$ , dónde $g_{1}$ es la anisotropía de dispersión original.
Convierta el haz de lápiz en una fuente puntual isotrópica a una profundidad de un camino libre medio de transporte. $l'$ debajo de la superficie y potencia = $a'$ .
Implemente la condición de contorno extrapolada agregando una fuente de imagen de signo opuesto sobre la superficie en $l'+2z_{b}$ .

Las dos fuentes puntuales pueden caracterizarse como fuentes puntuales en un medio infinito mediante $\Phi _{\infty }(r,\theta ,z;r',\theta ',z')={\frac {1}{4\pi D\rho }}\exp(-\mu _{\mathrm {eff} }\rho )$ $\rho$ es la distancia desde el punto de observación $(r,\theta ,z)$ ubicación de origen $(r',\theta ',z')$ en coordenadas cilíndricas. La combinación lineal de las contribuciones de la tasa de fluencia de las dos fuentes de imagen es $\Phi (r,\theta ,z;r',\theta ',z')=a'\Phi _{\infty }(r,\theta ,z;r',\theta ',z')-a'\Phi _{\infty }(r,\theta ,z;r',\theta ',-z'-2z_{b})$ Esto se puede utilizar para obtener la reflectancia difusa $R d (r)$ mediante la ley de Fick: ${\begin{aligned}R_{d}(r)&=\left.D{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right|_{z=0}\\[1ex]&={\frac {a'z'(1+\mu _{\mathrm {eff} }\rho _{1})\exp(-\mu _{\mathrm {eff} }\rho _{1})}{4\pi \rho _{1}^{3}}}+{\frac {a'(z'+4D)(1+\mu _{\mathrm {eff} }\rho _{2})\exp(-\mu _{\mathrm {eff} }\rho _{2})}{4\pi \rho _{2}^{3}}}\end{aligned}}$ $\rho _{1}$ es la distancia desde el punto de observación $(r,0,0)$ a la fuente en $(0,0,z')$ y $\rho _{2}$ es la distancia desde el punto de observación hasta la fuente de la imagen en $(0,0,-z'-2z_{b})$ . ^{[ 1 ]}^{[ 4 ]}

Propiedades de la ecuación de difusión

Escalada

Dejar $\Phi ({\vec {r}},t)$ Sea la solución de la función de Green a la ecuación de difusión para un medio homogéneo de propiedades ópticas. $\mu _{a}$ , $\mu _{s}'$ , entonces la solución de la función de Green para un medio homogéneo que difiere de la anterior solo por sus propiedades ópticas. ${\bar {\mu }}_{a}$ , ${\bar {\mu }}_{s}'$ , de tal manera que ${\bar {\mu }}_{a}/\mu _{a}={\bar {\mu }}_{s}'/\mu _{s}'$ , se puede obtener con el siguiente reescalado: ^{[ 5 ]}

${\bar {\Phi }}({\bar {\vec {r}}},{\bar {t}})=\left({\frac {{\bar {\mu }}_{s}'}{\mu _{s}'}}\right)^{3}\Phi ({\vec {r}},t)$

dónde ${\bar {\vec {r}}}={\vec {r}}{\frac {\mu _{s}'}{{\bar {\mu }}_{s}'}}$ y ${\bar {t}}=t{\frac {\mu _{s}'}{{\bar {\mu }}_{s}'}}$ .

Dicha propiedad también puede extenderse a la radiancia en el marco más general de la RTE, sustituyendo los coeficientes de transporte. ${\bar {\mu }}_{s}'$ , $\mu _{s}'$ con los coeficientes de extinción ${\bar {\mu }}_{t}$ , $\mu _{t}$ .

La utilidad de la propiedad reside en tomar los resultados obtenidos para una geometría y un conjunto de propiedades ópticas dadas, típicas de un entorno de laboratorio, reescalarlos y extenderlos a contextos en los que sería complicado realizar mediciones debido a la gran extensión o inaccesibilidad. ^{[ 6 ]}

Dependencia de la absorción

Dejar $\Phi ({\vec {r}},t,\mu _{a}{=}0)$ Sea la solución de la función de Green para la ecuación de difusión para un medio homogéneo no absorbente. Entonces, la solución de la función de Green para el medio cuando su coeficiente de absorción es $\mu _{a}$ se puede obtener como: ^{[ 5 ]}

$\Phi ({\vec {r}},t,\mu _{a})=\Phi ({\vec {r}},t,\mu _{a}{=}0)\exp(-\mu _{a}vt)$

De nuevo, la misma propiedad también se cumple para la radiancia dentro del RTE.

Soluciones basadas en la teoría de la difusión frente a simulaciones de Monte Carlo

Las simulaciones de Monte Carlo del transporte de fotones, aunque requieren mucho tiempo, predicen con precisión el comportamiento de los fotones en un medio dispersivo. Las suposiciones involucradas en la caracterización del comportamiento de los fotones con la ecuación de difusión generan imprecisiones. Generalmente, la aproximación de difusión es menos precisa a medida que el coeficiente de absorción $μ a$ aumenta y el coeficiente de dispersión $μ s$ disminuye. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} Para un haz de fotones incidente en un medio de profundidad limitada, el error debido a la aproximación de difusión es más prominente dentro de un camino libre medio de transporte desde la ubicación de incidencia del fotón (donde la radiancia aún no es isotrópica) (Figura 3). Entre los pasos para describir un haz de lápiz incidente en un medio semiinfinito con la ecuación de difusión, la conversión del medio de anisotrópico a isotrópico (paso 1) (Figura 4) y la conversión del haz a una fuente (paso 2) (Figura 5) generan más error que la conversión de una sola fuente a un par de fuentes imagen (paso 3) (Figura 6). El paso 2 genera el error más significativo. ^{[ 1 ]}^{[ 4 ]}

Figura 3: Reflectancia difusa frente al radio de un haz puntual incidente, determinada mediante una simulación de Monte Carlo (rojo), y reflectancia difusa frente al radio de dos fuentes puntuales isotrópicas, determinada mediante la solución de la teoría de difusión a la ecuación de transporte radiactivo (azul). El recorrido libre medio de transporte es de 0,1 cm.
Figura 4: Reflectancia difusa frente al radio de un haz puntual incidente para un medio anisotrópico (azul) e isotrópico (rojo).
Figura 5: Reflectancia difusa frente al radio desde la fuente de fotones para un haz de lápiz (azul) y una fuente puntual isotrópica (rojo).
Figura 6: Reflectancia difusa frente al radio de la fuente de fotones para una fuente puntual isotrópica caracterizada por la solución de la ecuación de transferencia radiactiva (azul) y una simulación de Monte Carlo (rojo).

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

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[Wang_2000-4] 1 2 3 LV Wang y SL Jacques (2000). "Fuentes de error en el cálculo de la reflectancia difusa óptica de medios turbios utilizando la teoría de la difusión". Métodos y programas informáticos en biomedicina . 61 (3): 163– 170. CiteSeerX 10.1.1.477.877 . doi : 10.1016/S0169-2607(99)00041-3 . PMID 10710179 .

[:0-5] 1 2 Martelli, Fabrizio, ed. (2010). Propagación de la luz a través de tejidos biológicos y otros medios difusivos: teoría, soluciones y software . SPIE PM. Bellingham, Wash: SPIE Press. pp. 41–43 . ISBN 978-0-8194-7658-6.

[6] Martelli, Fabrizio, ed. (2010). Propagación de la luz a través de tejidos biológicos y otros medios difusivos: teoría, soluciones y software . SPIE PM. Bellingham, Wash: SPIE Press. pág. 34. ISBN 978-0-8194-7658-6.

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