Diferenciador

En electrónica , un diferenciador es un circuito que genera una señal aproximadamente proporcional a la tasa de cambio (es decir, la derivada con respecto al tiempo ) de su señal de entrada. Debido a que la derivada de una sinusoide es otra sinusoide cuya amplitud se multiplica por su frecuencia , no se puede lograr un verdadero diferenciador que funcione en todas las frecuencias (ya que su ganancia tendría que aumentar indefinidamente a medida que aumenta la frecuencia). Los circuitos reales, como un filtro de paso alto de ^primer orden , pueden aproximarse a la diferenciación en frecuencias más bajas al limitar la ganancia por encima de su frecuencia de corte . Un diferenciador activo incluye un amplificador , mientras que un diferenciador pasivo está hecho solo de resistencias , capacitores e inductores .

Los circuitos de filtro paso alto pasivo de primer orden de cuatro terminales representados en la figura, que constan de una resistencia ^y un condensador , o alternativamente una resistencia y un inductor , se denominan diferenciadores porque aproximan la diferenciación a frecuencias muy por debajo de la frecuencia de corte de cada filtro.

Según la ley de Ohm , los voltajes en los dos extremos del diferenciador capacitivo están relacionados por la siguiente función de transferencia (que tiene un cero en el origen y un polo en ): ${\displaystyle s{=}{\tfrac {{\text{-}}1}{RC}}}$

${\displaystyle Y={\frac {Z_{R}}{Z_{R}+Z_{C}}}X={\frac {R}{R+{\frac {1}{sC}}}}X={\frac {sRC}{1+sRC}}X\implies Y\approx sRCX\quad {\text{para}}\ |s|\ll {\frac {1}{RC}}}$

lo cual es una buena aproximación de un diferenciador ideal a frecuencias muy por debajo de la frecuencia de corte del filtro de en hercios o en radianes . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2\pi RC}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{RC}}}$

De manera similar, la función de transferencia del diferenciador inductivo tiene un cero en el origen y un polo en , correspondiente a una frecuencia de corte de en hercios o en radianes. ${\displaystyle s{=}{\tfrac {{\text{-}}R}{L}}}$${\displaystyle {\tfrac {R}{2\pi L}}}$${\displaystyle {\frac {R}{L}}}$

Un circuito diferenciador (también conocido como amplificador diferenciador o diferenciador inversor ) consta de un amplificador operacional ideal con una resistencia R que proporciona retroalimentación negativa y un condensador C en la entrada, de modo que:

• ${\displaystyle V_{\text{en}}}$es el voltaje a través de C (desde el terminal negativo de tierra virtual del amplificador operacional ).
• ${\displaystyle V_{\text{fuera}}}$es el voltaje a través de R (también desde el terminal negativo de tierra virtual del amplificador operacional).
• ${\displaystyle I}$es la corriente que fluye desde la entrada a través de R y C hasta la salida del circuito.
  • No fluye corriente hacia las entradas del amplificador operacional ideal porque tienen una impedancia de entrada muy alta .

De acuerdo con la relación corriente-voltaje del capacitor , esta corriente que fluye desde la entrada a través del capacitor hasta la tierra virtual será proporcional a la derivada del voltaje de entrada: ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=C\,{\frac {dV_{\text{en}}}{dt}}\,.}$

Esta misma corriente se convierte en voltaje cuando viaja desde la tierra virtual a través de la resistencia hasta la salida, según la ley de Ohm : ${\displaystyle I}$

${\displaystyle 0-V_{\text{salida}}=IR\,.}$

Insertando la ecuación del capacitor se obtiene el voltaje de salida en función del voltaje de entrada: ${\displaystyle I}$

${\displaystyle V_{\text{salida}}=-RC{\frac {dV_{\text{entrada}}}{dt}}.}$

Como consecuencia,

• El voltaje de salida es proporcional a la derivada temporal del voltaje de entrada con una ganancia de Por lo tanto, el circuito actúa como diferenciador y amplificador.${\estilo de visualización RC.}$
• El signo negativo indica que la salida tiene un desplazamiento de fase de 180° (inversión) con respecto a la entrada.
• La ecuación es verdadera para cualquier señal de frecuencia, asumiendo un amplificador operacional ideal (aunque un amplificador operacional real tiene un ancho de banda limitado).

La salida de baja impedancia del amplificador operacional aísla la carga de las etapas siguientes, por lo que este circuito tiene la misma respuesta independientemente de su carga.

Si se aplica un voltaje de CC constante como entrada, el voltaje de salida es cero. Si el voltaje de entrada cambia de cero a negativo, el voltaje de salida es positivo. Si el voltaje de entrada aplicado cambia de cero a positivo, el voltaje de salida es negativo. Si se aplica una entrada de onda cuadrada a un diferenciador, se obtiene una forma de onda de pico en la salida.

Tratando al capacitor como una impedancia con reactancia capacitiva de X _c = ⁠1/2πfC​⁠ permite analizar el diferenciador como un filtro de paso alto. La proporcionalidad inversa a la frecuencia significa que a baja frecuencia, la reactancia de un capacitor es alta y a alta frecuencia, la reactancia es baja. Dado que la configuración de realimentación proporciona una ganancia de ⁠Rf_​/Xc_​⁠ , eso significa que la ganancia es baja en frecuencias bajas (o para entradas de cambio lento) y más alta en frecuencias más altas (o para entradas de cambio rápido).

La función de transferencia de un diferenciador ideal es , lo que da como resultado que el diagrama de Bode de su magnitud tenga una pendiente positiva de +20 dB por década en todas las frecuencias y una ganancia unitaria en${\displaystyle {\tfrac {V_{\text{salida}}}{V_{\text{entrada}}}}={\text{-}}sRC}$${\displaystyle f_{\text{0dB}}{=}{\tfrac {1}{2\pi RC}}\,.}$

Una pequeña constante de tiempo es suficiente para provocar la diferenciación de la señal de entrada.

A altas frecuencias:

• Este simple circuito diferenciador se vuelve inestable y comienza a oscilar;
• El circuito se vuelve sensible al ruido de alta frecuencia que, cuando se amplifica, domina la señal de entrada.
• El producto limitado de ganancia por ancho de banda de los amplificadores operacionales reales establecerá un límite de frecuencia superior para la diferenciación.

Para superar las limitaciones del diferenciador ideal, se conecta un condensador adicional de pequeño valor C ₁ en paralelo con la resistencia de retroalimentación R , lo que evita que el circuito diferenciador oscile, y se conecta una resistencia R _{1 en serie con el condensador} C , lo que limita el aumento de ganancia a una relación de ⁠R/R1_​⁠ .

Dado que hay retroalimentación negativa a través de la resistencia R , podemos aplicar el concepto de tierra virtual , es decir, el voltaje en el terminal inversor es el mismo de 0 voltios en el terminal no inversor.

Aplicando el análisis nodal, obtenemos

${\displaystyle {\frac {0-V_{o}}{R}}+{\frac {0-V_{o}}{\frac {1}{sC_{1}}}}+{\frac {0-V_{i}}{R_{1}+{\frac {1}{sC}}}}=0,}$

${\displaystyle -V_{o}({\frac {1}{R}}+sC_{1}\right)={\frac {V_{i}}{R_{1}+{\frac {1}{sC}}}}.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {-sRC}{(1+sR_{1}C)(1+sRC_{1})}}.}$

Por lo tanto, hay un cero en y un polo en (correspondiente a una frecuencia de esquina de ) y otro polo en (correspondiente a una frecuencia de esquina de ). ${\displaystyle s{=}0}$${\displaystyle s{=}{\tfrac {{\text{-}}1}{R_{1}C}}}$${\displaystyle f_{1}{=}{\tfrac {1}{2\pi R_{1}C}}}$${\displaystyle s{=}{\tfrac {{\text{-}}1}{RC_{1}}}}$${\displaystyle f_{2}{=}{\tfrac {1}{2\pi RC_{1}}}}$

La respuesta de frecuencia de este diferenciador práctico es un filtro de paso de banda con una pendiente de +20 dB por década sobre la banda de frecuencia para la diferenciación. Su diagrama de Bode cuando se normaliza con y es: $Estilo de visualización R_{1}C{=}10^{1}}$${\displaystyle RC_{1}{=}10^{{\text{-}}1}}$

Del gráfico anterior se puede ver que:

• A continuación , el circuito atenúa y actúa como diferenciador.${\displaystyle \omega _{1}}$
• Entre y , el circuito actúa como un seguidor o amortiguador de voltaje.${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$
• Arriba , el circuito atenúa y actúa como integrador .${\displaystyle \omega _{2}}$

La configuración producirá un cero en y dos polos en (correspondientes a una frecuencia de esquina de ), lo que dará como resultado la siguiente respuesta de frecuencia (normalizada mediante ): $Estilo de visualización RC_{1}{=}R_{1}C{=}RC}$${\displaystyle s{=}0}$${\displaystyle s{=}{\tfrac {{\text{-}}1}{RC}}}$${\displaystyle \omega _ {1}{=}{\tfrac {1}{RC}}}$${\displaystyle RC{=}1}$

Del gráfico anterior, observamos que:

• A continuación , el circuito actúa como diferenciador;${\displaystyle \omega _{1}}$
• Arriba , el circuito actúa como un integrador .${\displaystyle \omega _{1}}$

El circuito diferenciador es esencialmente un filtro de paso alto . Puede generar una onda cuadrada a partir de una entrada de onda triangular y producir picos de voltaje de dirección alterna cuando se aplica una onda cuadrada. En casos ideales, un diferenciador invierte los efectos de un integrador en una forma de onda y viceversa. Por lo tanto, se utilizan con mayor frecuencia en circuitos de modelado de ondas para detectar componentes de alta frecuencia en una señal de entrada. Los diferenciadores son una parte importante de las computadoras analógicas electrónicas y los controladores PID analógicos . También se utilizan en moduladores de frecuencia como detectores de tasa de cambio.

Un circuito diferenciador pasivo es uno de los circuitos electrónicos básicos , siendo ampliamente utilizado en el análisis de circuitos basado en el método de circuito equivalente .

• Integrador
• Diferenciador inversor en aplicaciones de amplificadores operacionales