Polinomios de diferencias

En matemáticas , en el área del análisis complejo , los polinomios de diferencias generales son una secuencia de polinomios , una subclase determinada de los polinomios de Sheffer , que incluyen los polinomios de Newton , los polinomios de Selberg y los polinomios de interpolación de Stirling como casos especiales.

La secuencia general de polinomios en diferencias viene dada por

${\displaystyle p_{n}(z)={\frac {z}{n}}{{z-\beta n-1} \choose {n-1}}}$

dónde${\displaystyle {z \choose n}}$es el coeficiente binomial . Para${\displaystyle \beta =0}$, los polinomios generados${\displaystyle p_{n}(z)}$son los polinomios de Newton

${\displaystyle p_{n}(z)={z \choose n}={\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}.}$

El caso de${\displaystyle \beta =1}$genera los polinomios de Selberg y el caso de${\displaystyle \beta =-1/2}$genera los polinomios de interpolación de Stirling.

Dada una función analítica${\displaystyle f(z)}$, definimos la diferencia móvil de f como

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(f)=\Delta ^{n}f(\beta n)}$

dónde${\displaystyle \Delta }$es el operador de diferencia hacia adelante . Entonces, siempre que f cumpla ciertas condiciones de sumabilidad, puede representarse en términos de estos polinomios como

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z){\mathcal {L}}_{n}(f).}$

Las condiciones de sumabilidad (es decir, convergencia) para esta sucesión constituyen un tema bastante complejo; en general, se puede decir que una condición necesaria es que la función analítica sea de tipo no exponencial . Las condiciones de sumabilidad se analizan en detalle en Boas y Buck.

La función generadora para los polinomios de diferencias generales viene dada por

${\displaystyle e^{zt}=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)\left[\left(e^{t}-1\right)e^{\beta t}\right]^{n}.}$

Esta función generadora puede expresarse en la forma de la representación generalizada de Appell.

${\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

al establecer${\displaystyle A(w)=1}$,${\displaystyle \Psi (x)=e^{x}}$,${\displaystyle g(w)=t}$y${\displaystyle w=(e^{t}-1)e^{\beta t}}$.

• Teorema de Carlson
• Polinomios de Bernoulli de segundo tipo

• Ralph P. Boas, Jr. y R. Creighton Buck , Expansiones polinómicas de funciones analíticas (segunda edición corregida) , (1964) Academic Press Inc., Editores Nueva York, Springer-Verlag, Berlín. Número de ficha de la Biblioteca del Congreso 63-23263.