Teorema de densidad de Lebesgue

En matemáticas , el teorema de densidad de Lebesgue establece que para cualquier conjunto medible de Lebesgue${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, la "densidad" de${\displaystyle A}$es 0 o 1 en casi todos los puntos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Además, la "densidad" de${\displaystyle A}$es 1 en casi todos los puntos de${\displaystyle A}$Intuitivamente, esto significa que el límite de${\displaystyle A}$, el conjunto de puntos en${\displaystyle A}$para los cuales todos los vecindarios están parcialmente en${\displaystyle A}$y parcialmente fuera${\displaystyle A}$, es de medida cero .

Dejar${\displaystyle \mu }$sea ​​la medida de Lebesgue en el espacio euclidiano y${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$Sea un conjunto medible de Lebesgue.${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$y dejar${\displaystyle B}$_ε${\displaystyle (x)}$denotamos la bola abierta de radio${\displaystyle \varepsilon }$centrado en${\displaystyle x}$. Defina la densidad en un punto${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \qquad \qquad d_{A}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\mu (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\mu (B_{\varepsilon }(x))}}}$$

Por ejemplo, dado un cuadrado en el plano, la densidad en cada punto dentro del cuadrado es 1, en los bordes es 1/2 y en las esquinas es 1/4. El conjunto de puntos en el plano donde la densidad no es ni 0 ni 1 no está vacío (el límite del cuadrado), pero su medida es cero.

El teorema de densidad de Lebesgue es un caso particular del teorema de diferenciación de Lebesgue .

Por lo tanto, este teorema también es cierto para toda medida de Borel finita en${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$en lugar de la medida de Lebesgue, como se demuestra en las secciones 2.8–2.9 de la Teoría de la medida geométrica de Federer , 1969.

• Teorema de diferenciación de Lebesgue – Teorema matemático en análisis real 

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