Deficiencia (estadística)

Dejar${\displaystyle \Theta }$Sea un espacio de parámetros . Dado un espacio abstracto L ₁${\displaystyle (L,\|\cdot \|)}$(es decir, una red de Banach tal que para los elementos${\displaystyle x,y\geq 0}$también${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|+\|y\|}$sostiene) que consiste en funcionales positivos lineales${\displaystyle \{P_{\theta }:\theta \in \Theta \}}$Un experimento${\displaystyle {\mathcal {E}}}$es un mapa${\displaystyle {\mathcal {E}}:\Theta \to L}$de la forma${\displaystyle \theta \mapsto P_{\theta }}$, de tal manera que${\displaystyle \|P_{\theta }\|=1}$.${\displaystyle L}$es la banda inducida por${\displaystyle \{P_{\theta }:\theta \in \Theta \}}$y por lo tanto utilizamos la notación${\displaystyle L({\mathcal {E}})}$. Para un${\displaystyle \mu \in L({\mathcal {E}})}$denotan el${\displaystyle \mu ^{+}=\mu \vee 0=\max(\mu ,0)}$El dual topológico${\displaystyle M}$de un espacio L con la norma conjugada${\displaystyle \|u\|_{M}=\sup\{|\langle u,\mu \rangle |;\|\mu \|_{L}\leq 1\}}$se denomina espacio M abstracto . También es un retículo con unidad definida a través de${\displaystyle I\mu =\|\mu ^{+}\|_{L}-\|\mu ^{-}\|_{L}}$para${\displaystyle \mu \in L}$.

Dejar${\displaystyle L(A)}$y${\displaystyle L(B)}$sean dos espacios L de dos experimentos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$, entonces se llama a un mapa lineal positivo que preserva la norma , es decir${\displaystyle \|T\mu ^{+}\|=\|\mu ^{+}\|}$a pesar de${\displaystyle \mu \in L(A)}$, una transición. El adjunto de una transición es una aplicación lineal positiva del espacio dual.${\displaystyle M_{B}}$de${\displaystyle L(B)}$en el espacio dual${\displaystyle M_{A}}$de${\displaystyle L(A)}$, de tal manera que la unidad de${\displaystyle M_{A}}$es la imagen de la unidad de${\displaystyle M_{B}}$ist. ^{[ 5 ]}

Dejar${\displaystyle \Theta }$sea ​​un espacio de parámetros y${\displaystyle {\mathcal {E}}:\theta \to P_{\theta }}$y${\displaystyle {\mathcal {F}}:\theta \to Q_{\theta }}$ser dos experimentos indexados por${\displaystyle \Theta }$. Le${\displaystyle L({\mathcal {E}})}$y${\displaystyle L({\mathcal {F}})}$denotemos los espacios L correspondientes y sea${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ser el conjunto de todas las transiciones desde${\displaystyle L({\mathcal {E}})}$a${\displaystyle L({\mathcal {F}})}$.

La deficiencia${\displaystyle \delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}})}$de${\displaystyle {\mathcal {E}}}$con relación a${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es el número definido en términos de inf sup :

${\displaystyle \delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}}):=\inf \limits _{T\in {\mathcal {T}}}\sup \limits _{\theta \in \Theta }{\tfrac {1}{2}}\|Q_{\theta }-TP_{\theta }\|_{\text{TV}},}$^{[ 6 ]}

dónde${\displaystyle \|\cdot \|_{\text{TV}}}$denota la norma de variación total${\displaystyle \|\mu \|_{\text{TV}}=\mu ^{+}+\mu ^{-}}$. El factor${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$Es solo para fines computacionales y a veces se omite.

La distancia de Le Cam es la siguiente pseudométrica

${\displaystyle \Delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}}):=\operatorname {max} \left(\delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}}),\delta ({\mathcal {F}},{\mathcal {E}})\right).}$

Esto induce una relación de equivalencia y cuando${\displaystyle \Delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}})=0}$, entonces uno dice${\displaystyle {\mathcal {E}}}$y${\displaystyle {\mathcal {F}}}$son equivalentes . La clase equivalente${\displaystyle C_{\mathcal {E}}}$de${\displaystyle {\mathcal {E}}}$también se le llama el tipo de${\displaystyle {\mathcal {E}}}$.

A menudo uno se interesa por familias de experimentos.${\displaystyle ({\mathcal {E}}_{n})_{n}}$con${\displaystyle \{P_{n,\theta }\colon \theta \in \Theta _{n}\}}$y${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n}}$con${\displaystyle \{Q_{n,\theta }\colon \theta \in \Theta _{n}\}}$. Si${\displaystyle \Delta ({\mathcal {E}}_{n},{\mathcal {F}}_{n})=0}$como${\displaystyle n\to \infty }$, entonces uno dice${\displaystyle ({\mathcal {E}}_{n})}$y${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})}$son asintóticamente equivalentes .

Dejar${\displaystyle \Theta }$sea ​​un espacio de parámetros y${\displaystyle E(\Theta )}$sea ​​el conjunto de todos los tipos que son inducidos por${\displaystyle \Theta }$, entonces la distancia de Le Cam${\displaystyle \Delta }$está completo con respecto a${\displaystyle E(\Theta )}$. La condición${\displaystyle \delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}})=0}$induce un orden parcial en${\displaystyle E(\Theta )}$uno dice${\displaystyle {\mathcal {E}}}$es mejor , más informativo o más fuerte que${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. ^{[ 6 ]}