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Longitud de Debye

En plasmas y electrolitos , la longitud de Debye λ D {\displaystyle \lambda _{\text{D}}} ( Radio de Debye o longitud de apantallamiento de Debye-Hückel ), es una medida del efec...

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En plasmas y electrolitos , la longitud de DebyeλD{\displaystyle \lambda _{\text{D}}}( Radio de Debye o longitud de apantallamiento de Debye-Hückel ), es una medida del efecto electrostático neto de un portador de carga en una solución y hasta dónde persiste dicho efecto. [ 1 ] Con cada longitud de Debye, las cargas se apantallan eléctricamente de forma creciente y el potencial eléctrico disminuye en magnitud en e . Una esfera de Debye es una esfera cuyo radio es la longitud de Debye. La longitud de Debye es un parámetro importante en física de plasmas , electrolitos y coloides ( teoría DLVO ).

La longitud de Debye para un plasma compuesto de partículas con densidadnorte{\displaystyle n}, cargarq{\displaystyle q}y temperaturaT{\displaystyle T}es dado porλD2=ε0kBT/(norteq2){\displaystyle \lambda _{\text{D}}^{2}=\varepsilon _{0}k_{\text{B}}T/(nq^{2})}. El número de onda de apantallamiento de Debye correspondiente viene dado por1/λD{\displaystyle 1/\lambda _{\text{D}}}. Las cantidades análogas a temperaturas muy bajas (T→0{\displaystyle T\to 0}) se conocen como la longitud de Thomas-Fermi y el número de onda de Thomas-Fermi, respectivamente. Son de interés para describir el comportamiento de los electrones en metales a temperatura ambiente y en materia densa caliente .

La longitud de Debye recibe su nombre del físico y químico neerlandés-estadounidense Peter Debye (1884-1966), premio Nobel de Química.

Origen físico

Ilustración del apantallamiento del campo eléctrico en un plasma . El radio de la nube de carga negativa, representada por el círculo discontinuo, es la longitud de Debye.

La longitud de Debye surge de forma natural al describir una sustancia con cargas móviles, como un plasma , una solución electrolítica o un semiconductor . En dichas sustancias, las cargas apantallan de forma natural los campos eléctricos inducidos en ellas, con una cierta longitud característica . Dicha longitud característica es la longitud de Debye.

Su valor puede derivarse matemáticamente para un sistema denorte{\displaystyle N}diferentes especies de partículas cargadas, donde laj{\displaystyle j}La especie -th lleva cargaqj{\displaystyle q_{j}}y tiene concentraciónnortej(r){\ Displaystyle n_ {j} (\ mathbf {r})}en posiciónr{\displaystyle \mathbf {r} }La distribución de partículas cargadas dentro de este medio da lugar a un potencial eléctrico .Φ(r){\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}que satisface la ecuación de Poisson : ε∇2Φ(r)=−∑j=1norteqjnortej(r)−ρextensión(r),{\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}\,n_{j}(\mathbf {r} )-\rho _{\text{ext}}(\mathbf {r} ),} dóndeε{\displaystyle \varepsilon }es la permitividad del medio yρextensión{\displaystyle \rho _{\text{ext}}}es cualquier densidad de carga estática que no forma parte del medio.

Los cargos móviles no solo afectanΦ(r){\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}pero también se ven afectados porΦ(r){\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}debido a la correspondiente fuerza de Coulomb ,−qj∇Φ(r){\displaystyle -q_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )}. Si además suponemos que el sistema está a temperaturaT{\displaystyle T}, entonces la concentración de carganortej(r){\ Displaystyle n_ {j} (\ mathbf {r})}bajo los supuestos de la teoría del campo medio , se puede considerar que tiende hacia la distribución de Boltzmann , nortej(r)=nortej0exp⁡(−qjΦ(r)kBT),{\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )=n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\text{B}}T}}\right),} dóndekB{\displaystyle k_{\text{B}}}es la constante de Boltzmann y donde nortej0{\displaystyle n_{j}^{0}}es la concentración media de cargas de especiesj{\displaystyle j}.

Al identificar las concentraciones instantáneas y el potencial en la ecuación de Poisson con sus contrapartes de campo medio en la distribución de Boltzmann, se obtiene la ecuación de Poisson-Boltzmann : ε∇2Φ(r)=−∑j=1norteqjnortej0exp⁡(−qjΦ(r)kBT)−ρextensión(r).{\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\text{B}}T}}\right)-\rho _{\text{ext}}(\mathbf {r} ).}

Se conocen soluciones a esta ecuación no lineal para algunos sistemas simples. Las soluciones para sistemas más generales se pueden obtener en el límite de alta temperatura (acoplamiento débil).qjΦ(r)≪kBT{\displaystyle q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll k_{\text{B}}T}, mediante la expansión exponencial de Taylor :exp⁡(−qjΦ(r)kBT)≈1−qjΦ(r)kBT.{\displaystyle \exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\text{B}}T}}\right)\approx 1-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\text{B}}T}}.}

Esta aproximación produce la ecuación de Poisson-Boltzmann linealizada. ε∇2Φ(r)=(∑j=1nortenortej0qj2kBT)Φ(r)−∑j=1nortenortej0qj−ρextensión(r){\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}{k_{\text{B}}T}}\right)\,\Phi (\mathbf {r} )-\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}q_{j}-\rho _{\text{ext}}(\mathbf {r} )} que también se conoce como la ecuación de Debye-Hückel : [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] El segundo término del lado derecho se anula para sistemas que son eléctricamente neutros. El término entre paréntesis dividido porε{\displaystyle \varepsilon }tiene unidades de longitud inversa al cuadrado, y mediante análisis dimensional conduce a la definición de la escala de longitud característica :

Longitud de Debye

λD=(εkBT∑j=1nortenortej0qj2)1/2{\displaystyle \lambda _{\text{D}}=\left({\frac {\varepsilon \,k_{\text{B}}T}{\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}}\right)^{1/2}}

Sustituyendo esta escala de longitud en la ecuación de Debye-Hückel y despreciando el segundo y tercer término del lado derecho, se obtiene la forma mucho más simplificada.λD2∇2Φ(r)=Φ(r){\displaystyle \lambda _{\text{D}}^{2}\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\Phi (\mathbf {r} )}. Como la única escala de longitud característica en la ecuación de Debye-Hückel,λD{\displaystyle \lambda _{\text{D}}}Establece la escala para las variaciones en el potencial y en las concentraciones de especies cargadas. Todas las especies cargadas contribuyen a la longitud de Debye de la misma manera, independientemente del signo de sus cargas.

Para ilustrar el apantallamiento de Debye, se puede considerar el ejemplo de una carga puntual colocada en un plasma. La densidad de carga externa es entoncesρextensión=Qδ(r){\displaystyle \rho _{\text{ext}}=Q\delta (\mathbf {r} )}y el potencial resultante es Φ(r)=Q4πεrmi−r/λD{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}}e^{-r/\lambda _{\text{D}}}} El potencial de Coulomb puro es apantallado exponencialmente por el medio, a lo largo de una distancia igual a la longitud de Debye: esto se denomina apantallamiento o blindaje de Debye.

La longitud de Debye puede expresarse en términos de la longitud de Bjerrum.λB{\displaystyle \lambda _{\text{B}}}como λD=(4πλB∑j=1nortenortej0zj2)−1/2,{\displaystyle \lambda _{\text{D}}=\left(4\pi \,\lambda _{\text{B}}\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,z_{j}^{2}\right)^{-1/2},} dóndezj=qj/mi{\displaystyle z_{j}=q_{j}/e}es el número de carga entero que relaciona la carga en elj{\displaystyle j}-especies iónicas a la carga elementalmi{\displaystyle e}.

En un plasma

Para un plasma con colisiones débiles, el apantallamiento de Debye puede introducirse de forma muy intuitiva teniendo en cuenta la estructura granular de dicho plasma. Imaginemos una esfera alrededor de uno de sus electrones y comparemos el número de electrones que la atraviesan con y sin repulsión de Coulomb. Con repulsión, este número es menor. Por lo tanto, según el teorema de Gauss, la carga aparente del primer electrón es menor que en ausencia de repulsión. Cuanto mayor sea el radio de la esfera, mayor será el número de electrones desviados y menor la carga aparente: esto es el apantallamiento de Debye. Dado que la desviación global de partículas incluye las contribuciones de muchas otras, la densidad de electrones no cambia, a diferencia del apantallamiento que actúa junto a una sonda de Langmuir ( vaina de Debye ). Los iones aportan una contribución similar al apantallamiento, debido a la desviación de Coulomb atractiva de cargas con signos opuestos.

Esta imagen intuitiva conduce a un cálculo efectivo del apantallamiento de Debye (véase la sección II.A.2 de [ 7 ] ). La suposición de una distribución de Boltzmann no es necesaria en este cálculo: funciona para cualquier función de distribución de partículas. El cálculo también evita aproximar los plasmas débilmente colisionales como medios continuos. Un cálculo de N cuerpos revela que la aceleración de Coulomb intrínseca de una partícula por otra se modifica por una contribución mediada por todas las demás partículas, una señal del apantallamiento de Debye (véase la sección 8 de [ 8 ] ). Al partir de posiciones de partículas aleatorias, la escala de tiempo típica para que se establezca el apantallamiento es el tiempo que tarda una partícula térmica en cruzar una longitud de Debye, es decir, el inverso de la frecuencia de plasma. Por lo tanto, en un plasma débilmente colisional, las colisiones juegan un papel esencial al generar un proceso de autoorganización cooperativa: el apantallamiento de Debye. Este apantallamiento es importante para obtener un coeficiente de difusión finito en el cálculo de la dispersión de Coulomb ( colisión de Coulomb ).

En un plasma no isotérmico, las temperaturas de los electrones y las especies pesadas pueden diferir mientras que el medio de fondo puede tratarse como el vacío (εr=1{\displaystyle \varepsilon _{r}=1}), y la longitud de Debye es λD=ε0kB/qmi2nortemi/Tmi+∑jzj2nortej/Tj{\displaystyle \lambda _{\text{D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\text{B}}/q_{e}^{2}}{n_{e}/T_{e}+\sum _{j}z_{j}^{2}n_{j}/T_{j}}}}} dónde

Incluso en plasma frío cuasineutral, donde la contribución iónica parece ser virtualmente mayor debido a la menor temperatura iónica, el término iónico en realidad a menudo se omite, dando λD=ε0kBTminortemiqmi2{\displaystyle \lambda _{\text{D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\text{B}}T_{e}}{n_{e}q_{e}^{2}}}}} aunque esto solo es válido cuando la movilidad de los iones es insignificante en comparación con la escala de tiempo del proceso. [ 9 ] Una forma útil de esta ecuación es [ 10 ]λD≈740Tminortemi{\displaystyle \lambda _{\text{D}}\approx 740{\sqrt {\frac {T_{e}}{n_{e}}}}} dóndeλD{\displaystyle \lambda _{\text{D}}}está en cm,Tmi{\displaystyle T_{e}}en eV ynortemi{\displaystyle n_{e}}en 1/cm 3 .

Valores típicos

En plasmas espaciales donde la densidad electrónica es relativamente baja, la longitud de Debye puede alcanzar valores macroscópicos, como en la magnetosfera, el viento solar , el medio interestelar y el medio intergaláctico. Véase la tabla a continuación (todos los valores están redondeados a la décima potencia más cercana): [ 11 ]

En una solución electrolítica

En un electrolito o una suspensión coloidal , la longitud de Debye [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] para un electrolito monovalente se suele denotar con el símbolo κ −1κ−1=εrε0kBT2mi2I{\displaystyle \kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\text{r}}\varepsilon _{0}k_{\text{B}}T}{2e^{2}I}}}}

dónde

o, para un electrolito monovalente simétrico, κ−1=εrε0RT2×103F2do0{\displaystyle \kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\text{r}}\varepsilon _{0}RT}{2\times 10^{3}F^{2}C_{0}}}}} dónde

Alternativamente, κ−1=18πλBnorteA×10−24I{\displaystyle \kappa ^{-1}={\frac {1}{\sqrt {8\pi \lambda _{\text{B}}N_{\text{A}}\times 10^{-24}I}}}} dóndeλB{\displaystyle \lambda _{\text{B}}}es la longitud de Bjerrum del medio en nm, y el factor10−24{\displaystyle 10^{-24}}Se deriva de la transformación del volumen unitario de decímetros cúbicos a nanómetros cúbicos.

Para agua desionizada a temperatura ambiente, a pH=7, λ B ≈ 0,71 nm.

A temperatura ambiente ( 20 °C o 70 °F ), se puede considerar en el agua la relación: [ 15 ]  κ−1(nortemetro)=0,304I(METRO){\displaystyle \kappa ^{-1}(\mathrm {nm} )={\frac {0.304}{\sqrt {I(\mathrm {M} )}}}} dónde

Existe un método para estimar un valor aproximado de la longitud de Debye en líquidos utilizando la conductividad, que se describe en la norma ISO [ 12 ] y en el libro [ 13 ] .

En semiconductores

La longitud de Debye se ha vuelto cada vez más importante en el modelado de dispositivos de estado sólido a medida que las mejoras en las tecnologías litográficas han permitido geometrías más pequeñas. [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]

La longitud de Debye de los semiconductores viene dada por: LD=εkBTq2nortedop{\displaystyle L_{\text{D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon k_{\text{B}}T}{q^{2}N_{\text{dop}}}}}} dónde

  • ε es la constante dieléctrica,
  • k B es la constante de Boltzmann,
  • T es la temperatura absoluta en kelvin,
  • q es la carga elemental, y
  • N dop es la densidad neta de dopantes (ya sean donantes o aceptores).

Cuando los perfiles de dopaje superan la longitud de Debye, los portadores mayoritarios ya no se comportan según la distribución de los dopantes. En cambio, una medición del perfil de los gradientes de dopaje proporciona un perfil "efectivo" que se ajusta mejor al perfil de la densidad de portadores mayoritarios.

En el contexto de los sólidos, puede ser necesario utilizar la longitud de apantallamiento de Thomas-Fermi en lugar de la longitud de Debye.

Véase también

Referencias

  1. ^ Debye, P.; Hückel, E. (2019) [1923]. "Zur Theorie der Elektrolyte. I. Gefrierpunktserniedrigung und verwandte Erscheinungen" [ La teoría de los electrolitos. I. Depresión del punto de congelación y fenómeno relacionado ] (PDF) . Physikalische Zeitschrift . 24 (9). Traducido por Braus, Michael J.: 185-206 .
  2. ↑ Kirby, BJ (2010). Mecánica de fluidos a micro y nanoescala: Transporte en dispositivos microfluídicos . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11903-0.
  3. ↑ Li, D. (2004). Electrocinética en microfluídica . Academic Press. ISBN 0-12-088444-5.
  4. ↑ PC Clemmow y JP Dougherty (1969). Electrodinámica de partículas y plasmas . Redwood City, CA: Addison-Wesley . pp. § 7.6.7, p. 236 y ss. ISBN  978-0-201-47986-7.
  5. ↑ RA Robinson y RH Stokes (2002). Soluciones electrolíticas . Mineola, NY: Dover Publications . pág. 76. ISBN  978-0-486-42225-1.
  6. ↑ Véase Brydges, David C.; Martin, Ph. A. (1999). "Sistemas de Coulomb a baja densidad: una revisión". Journal of Statistical Physics . 96 (5/6): 1163– 1330. arXiv : cond-mat/9904122 . Bibcode : 1999JSP....96.1163B . doi : 10.1023/A:1004600603161 . S2CID 54979869 . 
  7. ↑ Meyer-Vernet, N (1993). "Aspectos del apantallamiento de Debye". American Journal of Physics . 61 (3): 249– 257. Bibcode : 1993AmJPh..61..249M . doi : 10.1119/1.17300 .
  8. ↑ Escande, DF; Bénisti, D.; Elskens, Y.; Zarzoso, D.; Doveil, F. (2018). "Física microscópica básica del plasma a partir de la mecánica de N cuerpos, un homenaje a Pierre-Simon de Laplace". Reviews of Modern Plasma Physics . 2 (1): 68. arXiv : 1805.11408 . doi : 10.1007/s41614-018-0021-x .
  9. ↑ Hutchinson, IH (27 de abril de 1990). Principios del diagnóstico plasmático . Cambridge University Press. ISBN 0-521-38583-0.
  10. ↑ Chen, Francis F. (1976). Introducción a la física de plasmas . Plenum Press. pág. 10. 
  11. ↑ Kip Thorne (2012). "Capítulo 20: La cinética de partículas del plasma" (PDF) . Aplicaciones de la física clásica . Consultado el 7 de septiembre de 2017 .
  12. 1 2 Norma Internacional ISO 13099-1, 2012, "Sistemas coloidales – Métodos para la determinación del potencial zeta - Parte 1: Fenómenos electroacústicos y electrocinéticos"
  13. 1 2 Dukhin, AS; Goetz, PJ (2017). Caracterización de líquidos, nanopartículas, micropartículas y cuerpos porosos mediante ultrasonido . Elsevier. ISBN 978-0-444-63908-0.
  14. ↑ Russel, WB; Saville, DA; Schowalter, WR (1989). Dispersiones coloidales . Cambridge University Press. ISBN 0-521-42600-6.
  15. ↑ Israelachvili, J. (1985). Fuerzas intermoleculares y superficiales . Academic Press. ISBN 0-12-375181-0.
  16. ↑ Stern, Eric; Robin Wagner; Fred J. Sigworth; Ronald Breaker; Tarek M. Fahmy; Mark A. Reed (2007-11-01). " Importancia de la longitud de apantallamiento de Debye en sensores de transistores de efecto de campo de nanocables" . Nano Letters . 7 (11): 3405– 3409. Bibcode : 2007NanoL...7.3405S . doi : 10.1021/nl071792z . PMC 2713684. PMID 17914853 .  
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Lecturas adicionales