Descartes sobre los poliedros

Descartes sobre poliedros: Un estudio del "De solidorum elementis" es un libro de historia de las matemáticas que trata sobre la obra de René Descartes sobre poliedros . El tema central del libro es la disputa sobre la prioridad de la fórmula poliédrica de Euler entre Leonhard Euler , quien publicó una versión explícita de la fórmula, y Descartes, cuyo De solidorum elementis incluye un resultado del cual se deriva fácilmente la fórmula. ^{[ 1 ]}

Descartes sobre los poliedros fue escrito por Pasquale Joseph Federico (1902–1982) y publicado póstumamente por Springer-Verlag en 1982, con la colaboración de la viuda de Federico, Bianca M. Federico, como el volumen 4 de su serie de libros Fuentes en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas. ^{[ 2 ]} El Comité de la Lista Básica de Bibliotecas de la Asociación Matemática de América ha sugerido su inclusión en las bibliotecas de matemáticas de pregrado. ^{[ 3 ]}

El manuscrito original en latín de De solidorum elementis fue escrito alrededor de 1630 por Descartes; la crítica Marjorie Senechal lo llama "el primer tratamiento general de los poliedros", la única obra de Descartes en este campo, e inacabado, con afirmaciones desordenadas y algunas incorrectas. ^{[ 4 ]} Apareció en Estocolmo en la herencia de Descartes después de su muerte en 1650, estuvo sumergido durante tres días en el Sena cuando el barco que lo transportaba de regreso a París naufragó, y sobrevivió el tiempo suficiente para que Gottfried Wilhelm Leibniz lo copiara en 1676 antes de desaparecer definitivamente. La copia de Leibniz, también perdida, fue redescubierta en Hannover alrededor de 1860. La primera parte de Descartes on Polyhedra relata esta historia, esboza la biografía de Descartes, proporciona una reproducción facsímil de once páginas de la copia de Leibniz y ofrece una transcripción, traducción al inglés y comentarios sobre este texto, incluyendo explicaciones de algunas de sus notaciones. ^{[ 2 ] [ 5 ]}

En De solidorum elementis , Descartes enuncia (sin demostración) el teorema de Descartes sobre el defecto angular total , una versión discreta del teorema de Gauss-Bonnet según el cual los defectos angulares de los vértices de un poliedro convexo (la cantidad en que los ángulos en ese vértice son menores que el ángulo total)${\displaystyle 2\pi }$ángulo que rodea cualquier punto en un plano plano) siempre suman exactamente${\displaystyle 4\pi }$Descartes utilizó este teorema para demostrar que los cinco sólidos platónicos son los únicos poliedros regulares posibles. También es posible derivar la fórmula de Euler.${\displaystyle V-E+F=2}$relacionando los números de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo a partir del teorema de Descartes, ^{[ 2 ]} y De solidorum elementis también incluye una fórmula más parecida a la de Euler que relaciona el número de vértices, caras y ángulos planos de un poliedro. ^{[ 1 ]} Desde el redescubrimiento del manuscrito de Descartes, muchos estudiosos han argumentado que el mérito de la fórmula de Euler debería atribuirse a Descartes en lugar de a Leonhard Euler , quien publicó la fórmula (con una demostración incorrecta) en 1752. La segunda parte de Descartes on Polyhedra revisa este debate y compara el razonamiento de Descartes y Euler sobre estos temas. En última instancia, el libro concluye que Descartes probablemente no descubrió la fórmula de Euler, y los revisores Senechal y HSM Coxeter coinciden, escribiendo que Descartes no tenía un concepto para las aristas de un poliedro, y sin eso no podría haber formulado la fórmula de Euler. ^{[ 2 ] [ 4 ]} Posteriormente a este trabajo, se descubrió que Francesco Maurolico había proporcionado un predecesor más directo y mucho más antiguo al trabajo de Euler, una observación en 1537 (sin prueba de su aplicabilidad más general) de que la fórmula de Euler misma es válida para los cinco sólidos platónicos. ^{[ 6 ]}

La segunda parte del libro de Descartes, y la tercera parte de Descartes sobre los poliedros , conecta la teoría de los poliedros con la teoría de números . Trata sobre los números figurados definidos por Descartes a partir de los poliedros, generalizando las definiciones griegas clásicas de números figurados, como los números cuadrados y triangulares, a partir de polígonos bidimensionales . En esta parte, Descartes utiliza tanto los sólidos platónicos como algunos poliedros semirregulares , pero no los poliedros truncados . ^{[ 2 ] [ 7 ]}

El crítico FA Sherk, tras señalar la evidente relevancia de *Descartes sobre los poliedros* para los historiadores de las matemáticas, lo recomienda también a geómetras y matemáticos aficionados. Escribe que proporciona una buena introducción a algunos temas importantes de la matemática de los poliedros, establece una interesante conexión con la teoría de números y es de fácil lectura sin muchos conocimientos previos. ^{[ 7 ]} Marjorie Senechal señala que, más allá de la cuestión de la prioridad entre Descartes y Euler, el libro también es útil para esclarecer lo que se sabía de geometría en general en la época de Descartes. ^{[ 4 ]} De forma más concisa, el crítico L. Führer califica el libro de bello, legible y ameno, pero caro. ^{[ 5 ]}

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