Proyecto Cunningham

Desde el álgebra elemental,

${\displaystyle (b^{kn}-1)=(b^{n}-1)\sum _{r=0}^{k-1}b^{rn}}$

para todo k y

${\displaystyle (b^{kn}+1)=(b^{n}+1)\sum _{r=0}^{k-1}(-1)^{r}\cdot b^{rn}}$

para k impar . Además, b ^{2 n} − 1 = ( b ⁿ − 1)( b ⁿ + 1) . Por lo tanto, cuando m divide a n , b ^m − 1 y b ^m + 1 son factores de b ⁿ − 1 si el cociente de n sobre m es par ; solo el primer número es un factor si el cociente es impar. b ^m + 1 es un factor de b ⁿ − 1 , si m divide a n y el cociente es impar.

De hecho,

${\displaystyle b^{n}-1=\prod _{d\mid n}\Phi _{d}(b)}$

y

${\displaystyle b^{n}+1=\prod _{d\mid 2n,\,d\nmid n}\Phi _{d}(b)}$

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Cuando el número tiene una forma particular (la expresión exacta varía según la base), se puede utilizar la factorización aurifeuilleana, que da como resultado un producto de dos o tres números. Las siguientes ecuaciones dan factores aurifeuilleanos para las bases del proyecto Cunningham como producto de F , L y M : ^{[ 4 ]}

Sea b = s² ^× k con k libre de cuadrados , si se cumple una de las condiciones, entonces ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$poseer factorización aurifeuilleana.

(i)${\displaystyle k\equiv 1{\pmod {4}}}$y${\displaystyle n\equiv k{\pmod {2k}};}$

(ii)${\displaystyle k\equiv 2,3{\pmod {4}}}$y${\displaystyle n\equiv 2k{\pmod {4k}}.}$

Una vez eliminados los factores algebraicos y aurifeuilleanos, los demás factores de b ⁿ ± 1 son siempre de la forma 2 kn + 1 , ya que los factores de b ⁿ − 1 son todos factores de${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$y los factores de b ⁿ + 1 son todos factores de${\displaystyle \Phi _{2n}(b)}$Cuando n es primo , no son posibles factores algebraicos ni aurifeuilleanos, excepto los factores triviales ( b − 1 para b ⁿ − 1 y b + 1 para b ⁿ + 1 ). Para los números de Mersenne , los factores triviales no son posibles para n primo , por lo que todos los factores son de la forma 2 kn + 1. En general, todos los factores de ( b ⁿ − 1) /( b − 1) son de la forma 2 kn + 1, donde b ≥ 2 y n es primo, excepto cuando n divide a b − 1 , en cuyo caso ( b ⁿ − 1) /( b − 1) es divisible por n mismo.

Los números de Cunningham de la forma b ⁿ − 1 solo pueden ser primos si b = 2 y n es primo, suponiendo que n ≥ 2; estos son los números de Mersenne. Los números de la forma b ⁿ + 1 solo pueden ser primos si b es par y n es una potencia de 2 , suponiendo de nuevo que n ≥ 2; estos son los números de Fermat generalizados, que son números de Fermat cuando b = 2. Cualquier factor de un número de Fermat 2 ^{2 n} + 1 es de la forma k · 2 ^{n +2} + 1 .