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raíz cúbica

En matemáticas , la raíz cúbica de un número x es un número y que tiene al número dado como su tercera potencia ; es decir, y 3 = incógnita . {\displaystyle y^{3}=x.} El número ...

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En matemáticas , la raíz cúbica de un número x es un número y que tiene al número dado como su tercera potencia ; es decir,y3=incógnita.{\displaystyle y^{3}=x.}El número de raíces cúbicas de un número depende del sistema numérico que se esté considerando.

Cada número real x tiene exactamente una raíz cúbica real que se denotaincógnita3{\textstyle {\sqrt[{3}]{x}}}y se denomina raíz cúbica real de x o simplemente raíz cúbica de x en contextos donde no se consideran números complejos . Por ejemplo, las raíces cúbicas reales de 8 y −8 son respectivamente 2 y −2 . La raíz cúbica real de un número entero o de un número racional generalmente no es un número racional, ni un número construible .

Todo número real o complejo distinto de cero tiene exactamente tres raíces cúbicas que son números complejos. Si el número es real, una de las raíces cúbicas es real y las otras dos son números complejos conjugados no reales. En caso contrario, las tres raíces cúbicas son todas no reales. Por ejemplo, la raíz cúbica real de 8 es 2 y las otras raíces cúbicas de 8 son 2.−1+i3{\displaystyle -1+i{\sqrt {3}}}y−1−i3{\displaystyle -1-i{\sqrt {3}}}. Las tres raíces cúbicas de −27 i son 3i,332−32i,{\displaystyle 3i,{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\tfrac {3}{2}}i,}y−332−32i.{\displaystyle -{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\tfrac {3}{2}}i.}El número cero tiene una única raíz cúbica, que es el cero mismo.

La raíz cúbica es una función multivaluada . La raíz cúbica principal es su valor principal , es decir, una raíz cúbica única que se ha elegido una sola vez. La raíz cúbica principal es la raíz cúbica con la mayor parte real . En el caso de números reales negativos, la mayor parte real es compartida por las dos raíces cúbicas no reales, y la raíz cúbica principal es la que tiene parte imaginaria positiva. Por lo tanto, para números reales negativos, la raíz cúbica real no es la raíz cúbica principal . Para números reales positivos , la raíz cúbica principal es la raíz cúbica real.

Si y es cualquier raíz cúbica del número complejo x , las otras raíces cúbicas sony−1+i32{\displaystyle y\,{\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}yy−1−i32.{\displaystyle y\,{\tfrac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}

En un cuerpo algebraicamente cerrado de característica distinta de tres, cada elemento no nulo tiene exactamente tres raíces cúbicas, que se pueden obtener de cualquiera de ellas multiplicándola por cualquiera de las raíces del polinomio.incógnita2+incógnita+1.{\displaystyle x^{2}+x+1.}En un cuerpo algebraicamente cerrado de característica tres, cada elemento tiene exactamente una raíz cúbica.

En otros sistemas numéricos o estructuras algebraicas , un número o elemento puede tener más de tres raíces cúbicas. Por ejemplo, en los cuaterniones , un número real tiene infinitas raíces cúbicas.

Gráfica de y = 3 √ x . La gráfica es simétrica con respecto al origen, ya que es una función impar . En x = 0 esta gráfica tiene una tangente vertical .
Un cubo unitario (lado = 1) y un cubo con el doble de volumen (lado = 3 √ 2 = 1,2599... OEIS : A002580  ).

Definición

Las raíces cúbicas de un número x son los números y que satisfacen la ecuacióny3=incógnita. {\displaystyle y^{3}=x.\ }

Propiedades

Números reales

Para cualquier número real x , existe exactamente un número real y tal quey3=incógnita{\displaystyle y^{3}=x}En efecto, la función cúbica es creciente, por lo que no produce el mismo resultado para dos entradas diferentes y abarca todos los números reales. En otras palabras, es una biyección o correspondencia biyectiva.

Es decir, la raíz cúbica de un número real se define como su única raíz cúbica que también es real. Según esta definición, la raíz cúbica de un número negativo es un número negativo.

Sin embargo, esta definición puede resultar confusa cuando los números reales se consideran números complejos específicos, ya que, en este caso, la raíz cúbica se define generalmente como la raíz cúbica principal, y la raíz cúbica principal de un número real negativo no es real.

Las tres raíces cúbicas de 1

Si x e y pueden ser números complejos , entonces hay tres soluciones (si x es distinto de cero) y, por lo tanto, x tiene tres raíces cúbicas. Un número real tiene una raíz cúbica real y otras dos raíces cúbicas que forman un par complejo conjugado . Por ejemplo, las raíces cúbicas de 1 son:

1,−12+32i,−12−32i.{\displaystyle 1,\quad -{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,\quad -{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.}

Las dos últimas de estas raíces dan lugar a una relación entre todas las raíces de cualquier número real o complejo. Si un número es la raíz cúbica de un número real o complejo determinado, las otras dos raíces cúbicas se pueden hallar multiplicando esa raíz cúbica por una u otra de las dos raíces cúbicas complejas de 1.

Números complejos

Representación gráfica de la raíz cúbica compleja junto con sus dos ramas adicionales. La primera imagen muestra la rama principal, que se describe en el texto.
Superficie de Riemann de la raíz cúbica. Se puede observar cómo encajan las tres hojas.

Para los números complejos, la raíz cúbica principal se define generalmente como la raíz cúbica que tiene la mayor parte real , o, equivalentemente, la raíz cúbica cuyo argumento tiene el menor valor absoluto . Está relacionada con el valor principal del logaritmo natural mediante la fórmula

incógnita1/3=exp⁡(13ln⁡incógnita).{\displaystyle x^{1/3}=\exp \left({\frac {1}{3}}\ln {x}\right).}

Si escribimos x como

incógnita=rexp⁡(iθ){\displaystyle x=r\exp(i\theta )\,}

donde r es un número real no negativo yθ{\displaystyle \theta }se encuentra en la gama

−π<θ≤π{\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi },

entonces la raíz cúbica compleja principal es

incógnita3=r3exp⁡(iθ3).{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right).}

Esto significa que en coordenadas polares , tomamos la raíz cúbica del radio y dividimos el ángulo polar por tres para definir una raíz cúbica. Con esta definición, la raíz cúbica principal de un número negativo es un número complejo, y por ejemplo−83{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}}no será −2, sino más bien1+i3.{\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}.}

Esta dificultad también puede resolverse considerando la raíz cúbica como una función multivaluada : si escribimos el número complejo original x en tres formas equivalentes, a saber:

incógnita={rexp⁡(iθ),rexp⁡(iθ+2iπ),rexp⁡(iθ−2iπ).{\displaystyle x={\begin{cases}r\exp(i\theta ),\\[3px]r\exp(i\theta +2i\pi ),\\[3px]r\exp(i\theta -2i\pi ).\end{cases}}}
Representación geométrica de las raíces segunda a sexta de un número complejo z , en forma polar re i φ donde r = | z | y φ = arg z . Si z es real, φ = 0 o π . Las raíces principales se muestran en negro.

Las principales raíces cúbicas complejas de estas tres formas son, respectivamente:

incógnita3={r3exp⁡(iθ3),r3exp⁡(iθ3+2iπ3),r3exp⁡(iθ3−2iπ3).{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}={\begin{cases}{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}+{\frac {2i\pi }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}-{\frac {2i\pi }{3}}\right).\end{cases}}}

A menos que x = 0 , estos tres números complejos son distintos, aunque las tres representaciones de x fueran equivalentes. Por ejemplo,−83{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}}Entonces se puede calcular que es −2,1+i3{\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}}, o1−i3{\displaystyle 1-i{\sqrt {3}}}.

Esto está relacionado con el concepto de monodromía : si se sigue por continuidad la función raíz cúbica a lo largo de una trayectoria cerrada alrededor de cero, después de un giro el valor de la raíz cúbica se multiplica (o divide) pormi2iπ/3.{\displaystyle e^{2i\pi /3}.}

Imposibilidad de construcción con compás y regla

Las raíces cúbicas surgen en el problema de hallar un ángulo cuya medida sea un tercio de un ángulo dado ( trisección de un ángulo ) y en el problema de hallar la arista de un cubo cuyo volumen sea el doble del de un cubo con una arista dada ( duplicación del cubo ). En 1837, Pierre Wantzel demostró que ninguno de estos problemas se puede resolver con una regla y un compás .

Métodos numéricos

El método de Newton es un método iterativo que se puede utilizar para calcular la raíz cúbica. Para números de punto flotante reales , este método se reduce al siguiente algoritmo iterativo para producir aproximaciones sucesivamente mejores de la raíz cúbica de a :

incógnitanorte+1=13(aincógnitanorte2+2incógnitanorte).{\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{n}^{2}}}+2x_{n}\right).}

El método consiste simplemente en promediar tres factores elegidos de tal manera que

incógnitanorte×incógnitanorte×aincógnitanorte2=a{\displaystyle x_{n}\times x_{n}\times {\frac {a}{x_{n}^{2}}}=a}

en cada iteración.

El método de Halley mejora este resultado con un algoritmo que converge más rápidamente con cada iteración, aunque con más trabajo por iteración:

incógnitanorte+1=incógnitanorte(incógnitanorte3+2a2incógnitanorte3+a).{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}\left({\frac {x_{n}^{3}+2a}{2x_{n}^{3}+a}}\right).}

Esto converge cúbicamente , por lo que dos iteraciones hacen tanto trabajo como tres iteraciones del método de Newton. Cada iteración del método de Newton cuesta dos multiplicaciones, una suma y una división, suponiendo que ⁠ 1 / 3 ⁠ a está precalculado, por lo que tres iteraciones más el precálculo requieren siete multiplicaciones, tres sumas y tres divisiones.

Cada iteración del método de Halley requiere tres multiplicaciones, tres sumas y una división, [ 1 ] por lo que dos iteraciones cuestan seis multiplicaciones, seis sumas y dos divisiones. Por lo tanto, el método de Halley podría ser más rápido si una división es más costosa que tres sumas.

Con cualquiera de los dos métodos , una aproximación inicial deficiente de x₀ puede dar lugar a un rendimiento muy bajo del algoritmo, y obtener una buena aproximación inicial es una tarea compleja. Algunas implementaciones manipulan los bits del exponente del número de punto flotante; es decir, obtienen una aproximación inicial dividiendo el exponente entre 3. [ 1 ]

También resulta útil esta fracción continua generalizada , basada en el método de la raíz enésima :

Si x es una buena primera aproximación a la raíz cúbica de a yy=a−incógnita3{\displaystyle y=ax^{3}}, entonces:

a3=incógnita3+y3=incógnita+y3incógnita2+2y2incógnita+4y9incógnita2+5y2incógnita+7y15incógnita2+8y2incógnita+⋱{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}={\sqrt[{3}]{x^{3}+y}}=x+{\cfrac {y}{3x^{2}+{\cfrac {2y}{2x+{\cfrac {4y}{9x^{2}+{\cfrac {5y}{2x+{\cfrac {7y}{15x^{2}+{\cfrac {8y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}}
=incógnita+2incógnita⋅y3(2incógnita3+y)−y−2⋅4y29(2incógnita3+y)−5⋅7y215(2incógnita3+y)−8⋅10y221(2incógnita3+y)−⋱.{\displaystyle =x+{\cfrac {2x\cdot y}{3(2x^{3}+y)-y-{\cfrac {2\cdot 4y^{2}}{9(2x^{3}+y)-{\cfrac {5\cdot 7y^{2}}{15(2x^{3}+y)-{\cfrac {8\cdot 10y^{2}}{21(2x^{3}+y)-\ddots }}}}}}}}.}

La segunda ecuación combina cada par de fracciones de la primera en una sola fracción, duplicando así la velocidad de convergencia.

Aparición en soluciones de ecuaciones de tercer y cuarto grado

Las ecuaciones cúbicas , que son ecuaciones polinómicas de tercer grado (es decir, la potencia más alta de la incógnita es 3), siempre pueden resolverse para obtener sus tres soluciones en términos de raíces cúbicas y raíces cuadradas (aunque existen expresiones más simples solo en términos de raíces cuadradas para las tres soluciones, si al menos una de ellas es un número racional ). Si dos de las soluciones son números complejos, entonces las tres expresiones de solución involucran la raíz cúbica real de un número real, mientras que si las tres soluciones son números reales, entonces pueden expresarse en términos de la raíz cúbica compleja de un número complejo .

Las ecuaciones cuárticas también se pueden resolver en términos de raíces cúbicas y raíces cuadradas.

Historia

El cálculo de raíces cúbicas se remonta a los matemáticos babilonios desde el año 1800 a. C. [ 2 ] En el siglo IV a. C., Platón planteó el problema de duplicar el cubo , que requería la construcción con regla y compás de la arista de un cubo con el doble de volumen que un cubo dado; esto requería la construcción, ahora conocida como imposible, de la longitud23{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}.

Un método para extraer raíces cúbicas aparece en Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático , un texto matemático chino compilado alrededor del siglo II a. C. y comentado por Liu Hui en el siglo III d. C. [ 3 ] El matemático griego Herón de Alejandría ideó un método para calcular raíces cúbicas en el siglo I d. C. Su fórmula es mencionada nuevamente por Eutokios en un comentario sobre Arquímedes . [ 4 ] En 499 d. C. , Aryabhata , un matemático y astrónomo de la época clásica de las matemáticas y la astronomía indias , dio un método para encontrar la raíz cúbica de números con muchos dígitos en el Aryabhatiya (sección 2.5). [ 5 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 "En busca de una raíz cúbica rápida" . metamerist.com . 2008. Archivado del original el 27 de diciembre de 2013.
  2. ↑ Saggs, HWF (1989). La civilización antes de Grecia y Roma . Yale University Press. pág . 227. ISBN  978-0-300-05031-8.
  3. ↑ Crossley, John; W.-C. Lun, Anthony (1999). Los nueve capítulos sobre el arte matemático: Guía y comentarios . Oxford University Press. pág. 213. ISBN  978-0-19-853936-0.
  4. ↑ Smyly, J. Gilbart (1920). "Fórmula de Herón para la raíz cúbica". Hermathena . 19 (42). Trinity College Dublin: 64– 67. JSTOR 23037103 . 
  5. ^ Aryabhatiya Enlace obsoleto archivado el 15 de agosto de 2011 en archive.today Marathi : आर्यभटीय , Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p. 62, ISBN 978-81-7434-480-9
  • La calculadora de raíz cúbica reduce cualquier número a su forma radical más simple.
  • Cálculo de la raíz cúbica, Ken Turkowski, Informe técnico de Apple n.º KT-32, 1998. Incluye código fuente en C.
  • Weisstein, Eric W. "Raíz cúbica" . MathWorld .