Espectro cruzado

En el procesamiento de señales y la estadística , el espectro cruzado es una herramienta que se utiliza para analizar la relación entre dos series temporales en el dominio de la frecuencia . Describe cómo se distribuye la correlación entre las dos series en diferentes frecuencias. Por ejemplo, si dos micrófonos graban audio en una habitación, el espectro cruzado puede revelar las frecuencias específicas de los sonidos (como el zumbido de un electrodoméstico) que predominan en ambas grabaciones, lo que ayuda a identificar fuentes comunes.

Técnicamente, el espectro cruzado es la transformada de Fourier de la función de covarianza cruzada . Esto significa que toma la relación entre las dos señales a lo largo del tiempo y la representa como una función de la frecuencia.

Dejar${\displaystyle (X_{t},Y_{t})}$representan un par de procesos estocásticos que son conjuntamente estacionarios en sentido amplio con funciones de autocovarianza .${\displaystyle \gamma _{xx}}$y${\displaystyle \gamma _{yy}}$y función de covarianza cruzada${\displaystyle \gamma _{xy}}$. Luego el espectro cruzado${\displaystyle \Gamma _{xy}}$se define como la transformada de Fourier de${\displaystyle \gamma _{xy}}$^{[ 1 ]}

${\displaystyle \Gamma _{xy}(f)={\mathcal {F}}\{\gamma _{xy}\}(f)=\sum _{\tau =-\infty }^{\infty }\,\gamma _{xy}(\tau )\,e^{-2\,\pi \,i\,\tau \,f},}$

dónde

${\displaystyle \gamma _{xy}(\tau )=\operatorname {E} [(x_{t}-\mu _{x})(y_{t+\tau }-\mu _{y})]}$.

El espectro cruzado tiene representaciones como una descomposición en (i) su parte real (coespectro) y (ii) su parte imaginaria (espectro en cuadratura).

${\displaystyle \Gamma _{xy}(f)=\Lambda _{xy}(f)-i\Psi _{xy}(f),}$

y (ii) en coordenadas polares

${\displaystyle \Gamma _{xy}(f)=A_{xy}(f)\,e^{i\phi _{xy}(f)}.}$

Aquí, el espectro de amplitud${\displaystyle A_{xy}}$es dado por

${\displaystyle A_{xy}(f)=(\Lambda _{xy}(f)^{2}+\Psi _{xy}(f)^{2})^{\frac {1}{2}},}$

y el espectro de fase${\displaystyle \Phi _{xy}}$es dado por

${\displaystyle {\begin{cases}\tan ^{-1}(\Psi _{xy}(f)/\Lambda _{xy}(f))&{\text{si }}\Psi _{xy}(f)\neq 0{\text{ y }}\Lambda _{xy}(f)\neq 0\\0&{\text{si }}\Psi _{xy}(f)=0{\text{ y }}\Lambda _{xy}(f)>0\\\pm \pi &{\text{si }}\Psi _{xy}(f)=0{\text{ y }}\Lambda _{xy}(f)<0\\\pi /2&{\text{si }}\Psi _{xy}(f)>0{\text{ y }}\Lambda _{xy}(f)=0\\-\pi /2&{\text{si }}\Psi _{xy}(f)<0{\text{ y }}\Lambda _{xy}(f)=0\\\end{cases}}}$

El espectro de coherencia al cuadrado viene dado por

${\displaystyle \kappa _{xy}(f)={\frac {A_{xy}^{2}}{\Gamma _{xx}(f)\Gamma _{yy}(f)}},}$

que expresa el espectro de amplitud en unidades adimensionales.

• Correlación cruzada
• Espectro de potencia
• Correlación escalada