Circuito de Costas

Un bucle de Costas es un circuito basado en un bucle de enganche de fase (PLL) que se utiliza para la recuperación de la frecuencia portadora a partir de señales de modulación de portadora suprimida (por ejemplo , señales de portadora suprimida de doble banda lateral ) y señales de modulación de fase (por ejemplo, BPSK , QPSK ). Fue inventado por John P. Costas en General Electric en la década de 1950. ^[¹^]^[²^] Su invención fue descrita ^[³^] como de "un profundo efecto en las comunicaciones digitales modernas". La principal aplicación de los bucles de Costas se encuentra en los receptores inalámbricos. Su ventaja sobre otros detectores basados en PLL es que, con pequeñas desviaciones, la tensión de error del bucle de Costas es en comparación con . Esto se traduce en el doble de sensibilidad y también hace que el bucle de Costas sea especialmente adecuado para el seguimiento de portadoras con desplazamiento Doppler , especialmente en receptores OFDM y GPS . ^[³^] $\sin(2(\theta _{i}-\theta _{f}))$ $\sin(\theta _{i}-\theta _{f})$

Implementación clásica

En la implementación clásica de un bucle de Costas, ^{[ 4 ]} un oscilador controlado por voltaje (VCO) local proporciona salidas en cuadratura , una para cada uno de dos detectores de fase , por ejemplo , detectores de producto . La misma fase de la señal de entrada también se aplica a ambos detectores de fase, y la salida de cada detector de fase pasa a través de un filtro de paso bajo . Las salidas de estos filtros de paso bajo son entradas a otro detector de fase, cuya salida pasa a través de un filtro de reducción de ruido antes de ser utilizada para controlar el oscilador controlado por voltaje. El detector coherente en fase acoplado y el detector coherente de fase en cuadratura proporcionan retroalimentación negativa para asegurar que el oscilador esté síncrono con la onda portadora. ^{[ 5 ]}

La respuesta general del bucle está controlada por los dos filtros paso bajo individuales que preceden al tercer detector de fase, mientras que este último desempeña un papel secundario en términos de ganancia y margen de fase . La figura anterior, que muestra un bucle de Costas, se representa en estado "bloqueado", donde la frecuencia del VCO y la frecuencia de la portadora de entrada coinciden gracias al proceso del bucle de Costas. La figura no representa el estado "desbloqueado".

Modelos matemáticos

En el dominio del tiempo

En el caso más simple , por lo tanto, no afecta la entrada del filtro de reducción de ruido. Las señales portadora y del oscilador controlado por voltaje (VCO) son oscilaciones periódicas con altas frecuencias . El bloque es un multiplicador analógico . $m^{2}(t)=1$ $m^{2}(t)=1$ $f_{ref,vco}(\theta _{ref,vco}(t))$ ${\dot {\theta }}_{ref,vco}(t)$ $\bigotimes$

Un filtro lineal puede describirse matemáticamente mediante un sistema de ecuaciones diferenciales lineales:

{\begin{array}{ll}{\dot {x}}=Ax+bu_{d}(t),&u_{LF}=c^{*}x.\end{array}}

donde es una matriz constante, es un vector de estado del filtro y son vectores constantes. $A$ $x(t)$ $b$ $c$

El modelo de un VCO generalmente se asume como lineal:

{\begin{array}{ll}{\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}^{free}+K_{vco}u_{LF}(t),&t\in [0,T],\end{array}}

donde es la frecuencia de funcionamiento libre del VCO y es el factor de ganancia del VCO. De manera similar, es posible considerar varios modelos no lineales del VCO. $\omega _{vco}^{free}$ $K_{vco}$

Supongamos que la frecuencia del generador maestro es constante. Ecuación del VCO y ecuación del rendimiento del filtro. ${\dot {\theta }}_{ref}(t)\equiv \omega _{ref}.$

{\begin{array}{ll}{\dot {x}}=Ax+bf_{ref}(\theta _{ref}(t))f_{vco}(\theta _{vco}(t)),&{\dot {\theta }}_{vco}=\omega _{vco}^{free}+K_{vco}c^{*}x.\end{array}}

El sistema no es autónomo y resulta bastante complicado de investigar.

En el dominio de fase-frecuencia

Modelo equivalente en el dominio fase-frecuencia del bucle de Costas

En el caso más simple, cuando

{\begin{aligned}f_{ref}{\big (}\theta _{ref}(t){\big )}=\cos {\big (}\omega _{ref}t{\big )},\ f_{vco}{\big (}\theta _{vco}(t){\big )}&=\sin {\big (}\theta _{vco}(t){\big )}\\f_{ref}{\big (}\theta _{ref}(t){\big )}^{2}f_{vco}\left(\theta _{vco}(t)\right)f_{vco}\left(\theta _{vco}(t)-{\frac {\pi }{2}}\right)&=-{\frac {1}{8}}{\Big (}2\sin(2\theta _{vco}(t))+\sin(2\theta _{vco}(t)-2\omega _{ref}t)+\sin(2\theta _{vco}(t)+2\omega _{ref}t){\Big )}\end{aligned}}

La suposición estándar en ingeniería es que el filtro elimina la frecuencia de la banda lateral superior de la entrada, pero deja la banda lateral inferior sin cambios. Por lo tanto, se supone que la entrada del VCO es Esto hace que un bucle de Costas sea equivalente a un bucle de enganche de fase con una característica de detector de fase que corresponde a las formas de onda particulares y de las señales de entrada y del VCO. Se puede demostrar que las salidas del filtro en los dominios de tiempo y fase-frecuencia son casi iguales. ^[⁶^]^[⁷^]^[⁸^] $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ $\varphi (\theta)$ $f_{ref}(\theta )$ $f_{vco}(\theta )$

Por lo tanto, es posible ^{[ 9 ]} estudiar el sistema autónomo más simple de ecuaciones diferenciales.

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+b\varphi (\Delta \theta ),\\\Delta {\dot {\theta }}&=\omega _{vco}^{free}-\omega _{ref}+K_{vco}c^{*}x,\\\Delta \theta &=\theta _{vco}-\theta _{ref}.\end{aligned}}

.

El método de promediación de Krylov-Bogoliubov permite demostrar que las soluciones de ecuaciones no autónomas y autónomas son cercanas bajo ciertas suposiciones. De este modo, el diagrama de bloques del bucle de Costas en el dominio del tiempo puede transformarse asintóticamente en un diagrama de bloques basado en relaciones fase-frecuencia.

La transición al análisis de un modelo dinámico autónomo del bucle de Costas (en lugar del no autónomo) permite superar las dificultades relacionadas con el modelado del bucle de Costas en el dominio del tiempo, donde hay que observar simultáneamente una escala de tiempo muy rápida de las señales de entrada y una escala de tiempo lenta de la fase de la señal. Esta idea permite ^{[ 10 ]} calcular las características de rendimiento principales: rangos de retención, atracción y bloqueo .

Adquisición de frecuencia

El bucle clásico de Costas trabajará para que la diferencia de fase entre la portadora y el VCO se convierta en un valor pequeño, idealmente cero. ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} La pequeña diferencia de fase implica que se ha logrado el bloqueo de frecuencia.

Bucle QPSK Costas

El bucle clásico de Costas se puede adaptar a la modulación QPSK para velocidades de datos más altas. ^{[ 14 ]}

La señal QPSK de entrada es la siguiente:

m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right),m_{1}(t)=\pm 1,m_{2}(t)=\pm 1.

Las entradas de los filtros de paso bajo LPF1 y LPF2 son

{\begin{aligned}\varphi _{1}(t)&=\cos \left(\theta _{\text{vco}}\right)\left(m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right)\right),\\\varphi _{2}(t)&=\sin \left(\theta _{\text{vco}}\right)\left(m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right)\right).\end{aligned}}

Después de la sincronización, las salidas de LPF1 y LPF2 se utilizan para obtener datos demodulados ( y ). Para ajustar la frecuencia del VCO a la frecuencia de referencia, las señales y se limitan y se multiplican cruzadamente: $Q(t)$ $I(t)$ $m_{1}(t)$ $m_{2}(t)$ $Q(t)$ $I(t)$

u_{d}(t)=I(t)\operatorname {sgn}(Q(t))-Q(t)\operatorname {sgn}(I(t)).

Luego, la señal se filtra mediante el filtro de bucle y forma la señal de sintonización para el VCO , similar al bucle BPSK Costas. Por lo tanto, QPSK Costas se puede describir ^[¹⁵^] mediante un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias : $u_{d}(t)$ $u_{\text{LF}}(t)$

{\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=A_{\text{LPF}}x_{1}+b_{\text{LPF}}\varphi _{1}(t),\\{\dot {x}}_{2}&=A_{\text{LPF}}x_{2}+b_{\text{LPF}}\varphi _{2}(t),\\{\dot {x}}&=A_{\text{LF}}x+b_{\text{LF}}{\big (}c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{2})-c_{\text{LPF}}^{*}x_{2}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}){\big )},\\{\dot {\theta }}_{\text{vco}}&=\omega _{\text{vco}}^{\text{free}}+K_{\text{VCO}}{\Big (}c_{\text{LF}}^{*}x+h_{\text{LF}}{\big (}c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{2})-c_{\text{LPF}}^{*}x_{2}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}){\big )}{\Big )}.\\\end{aligned}}

Aquí están los parámetros de LPF1 y LPF2 y son los parámetros del filtro de bucle. $A_{\text{LPF}},b_{\text{LPF}},c_{\text{LPF}}$ $A_{\text{LF}},b_{\text{LF}},c_{\text{LF}},h_{\text{LF}}$

Referencias

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Este artículo incorpora material de dominio público de la Norma Federal 1037C . Administración de Servicios Generales . Archivado del original el 22 de enero de 2022.

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[11] Costas (1956) afirma: «El oscilador local debe mantenerse en la fase correcta para que las contribuciones de salida de audio de las bandas laterales superior e inferior se refuercen mutuamente. Si la fase del oscilador se desvía 90° del valor óptimo, se producirá una anulación en la salida de audio, lo cual es típico de los detectores de este tipo. El método real de control de fase se explicará en breve, pero para los fines de esta discusión, se asumirá que el oscilador mantiene la fase correcta».

[12] El uso de un filtro de lazo con un integrador permite un error de fase en estado estacionario de cero. Véase controlador PID § Término integral .

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