semántica dinámica

Una actualización con${\displaystyle \varphi }$se denomina intersectivo si equivale a tomar la intersección del contexto de entrada con la proposición denotada por${\displaystyle \varphi }$Fundamentalmente, esta definición supone que existe una única proposición fija que${\displaystyle \varphi }$siempre denota, independientemente del contexto. ^{[ 8 ]}

• Actualización interactiva: Deje${\displaystyle [\![\varphi ]\!]}$sea ​​la proposición denotada por${\displaystyle \varphi }$. Entonces${\displaystyle \varphi }$es intersectiva si y solo si para cualquier${\displaystyle C}$, tenemos eso${\displaystyle C[\varphi ]=C\cap [\![\varphi ]\!]}$

La actualización intersectiva fue propuesta por Robert Stalnaker en 1978 como una forma de formalizar el acto de habla de la afirmación. ^{[ 9 ] [ 8 ]} En el sistema original de Stalnaker, un contexto (o conjunto de contextos ) se define como un conjunto de mundos posibles que representan la información en el terreno común de una conversación. Por ejemplo, si${\displaystyle C=\{w,v,u\}}$Esto representa un escenario donde la información acordada por todos los participantes en la conversación indica que el mundo real debe ser o${\displaystyle w}$,${\displaystyle v}$, o${\displaystyle u}$. Si${\displaystyle [\![\varphi ]\!]=\{w,v\}}$luego actualizando${\displaystyle C}$con${\displaystyle \varphi }$devolvería un nuevo contexto${\displaystyle C[\varphi ]=\{w,v\}}$. Por lo tanto, una afirmación de${\displaystyle \varphi }$se entendería como un intento de descartar la posibilidad de que el mundo real sea${\displaystyle u}$.

Desde una perspectiva formal, la actualización intersectiva puede considerarse una receta para elevar la semántica estática preferida a una semántica dinámica. Por ejemplo, si tomamos la semántica proposicional clásica como punto de partida, esta receta proporciona la siguiente semántica de actualización intersectiva. ^{[ 8 ]}

• Semántica de actualización intersectiva basada en la lógica proposicional clásica:

1. ${\displaystyle C[P]=\{w\in C\mid w(P)=1\}}$
2. ${\displaystyle C[\neg \varphi ]=C-C[\varphi ]}$
3. ${\displaystyle C[\varphi \land \psi ]=C[\varphi ]\cap C[\psi ]}$
4. ${\displaystyle C[\varphi \lor \psi ]=C[\varphi ]\cup C[\psi ]}$

La noción de intersectividad se puede descomponer en dos propiedades conocidas como eliminatividad y distributividad . La eliminatividad dice que una actualización solo puede eliminar mundos del contexto; no puede agregarlos. La distributividad dice que actualizar${\displaystyle C}$con${\displaystyle \varphi }$es equivalente a actualizar cada subconjunto único de${\displaystyle C}$con${\displaystyle \varphi }$y luego agrupar los resultados. ^{[ 8 ]}

• Eliminatividad:${\displaystyle \varphi }$es eliminativa si y solo si${\displaystyle C[\varphi ]\subseteq C}$para todos los contextos${\displaystyle C}$
• Distributividad:${\displaystyle \varphi }$es distributiva si y solo si${\displaystyle C[\varphi ]=\bigcup \{\{w\}[\varphi ]\mid w\in C\}}$

La intersectividad equivale a la conjunción de estas dos propiedades, como lo demostró Johan van Benthem . ^{[ 8 ] [ 10 ]}

El marco de la semántica de actualización es más general que la semántica estática porque no se limita a significados intersectivos. Los significados no intersectivos son teóricamente útiles porque aportan información diferente dependiendo de la información que ya esté presente en el contexto. Por ejemplo, si${\displaystyle \varphi }$es intersectivo, entonces actualizará cualquier contexto de entrada con la misma información exacta, es decir, la información codificada por la proposición.${\displaystyle [\![\varphi ]\!]}$. Por otro lado, si${\displaystyle \varphi }$es no intersectivo, podría contribuir${\displaystyle [\![\varphi ]\!]}$cuando actualiza algunos contextos, pero información completamente diferente cuando actualiza otros contextos. ^{[ 8 ]}

Se ha argumentado que muchas expresiones del lenguaje natural tienen significados no interseccionales. La no intersectividad de los modales epistémicos puede observarse en la infelicidad de las contradicciones epistémicas . ^{[ 11 ] [ 8 ]}

Contradicción epistémica : #Está lloviendo y puede que no esté lloviendo.

Se ha argumentado que estas oraciones son contradicciones lógicas genuinas, a diferencia de ejemplos superficialmente similares como las oraciones de Moore , que pueden tener una explicación pragmática . ^{[ 12 ] [ 8 ]}

Principio de contradicción epistémica :${\displaystyle \varphi \land \Diamond \neg \varphi \models \bot }$

Estas oraciones no pueden analizarse como contradicciones lógicas dentro de marcos puramente intersectivos como la semántica relacional para la lógica modal . El principio de contradicción epistémica solo se cumple en la clase de marcos relacionales tales que${\displaystyle Rwv\Rightarrow (w=v)}$Sin embargo, tales marcos también validan una implicación de${\displaystyle \Diamond \varphi }$a${\displaystyle \varphi }$Por lo tanto, tener en cuenta la indecisión de las contradicciones epistémicas dentro de una semántica clásica para los modales traería consigo la predicción indeseada de que "Puede que esté lloviendo" implica "Está lloviendo". ^{[ 12 ] [ 8 ]} Update Semantics elude este problema al proporcionar una denotación no interseccional para los modales. Cuando se le da dicha denotación, la fórmula${\displaystyle \Diamond \neg \varphi }$pueden actualizar los contextos de entrada de manera diferente dependiendo de si ya contienen la información que${\displaystyle \varphi }$proporciona. La entrada semántica más ampliamente adoptada para modales en semántica de actualización es la semántica de prueba propuesta por Frank Veltman . ^{[ 1 ]}

• La semántica de prueba para los modales:${\displaystyle C[\Diamond \varphi ]={\begin{cases}C&{\text{if }}C[\varphi ]\neq \varnothing \\\varnothing &{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

En esta semántica,${\displaystyle \Diamond \varphi }$prueba si el contexto de entrada podría actualizarse con${\displaystyle \varphi }$sin trivializarse, es decir, sin devolver el conjunto vacío. Si el contexto de entrada pasa la prueba, permanece sin cambios. Si falla la prueba, la actualización trivializa el contexto devolviendo el conjunto vacío. Esta semántica puede manejar contradicciones epistémicas porque, independientemente del contexto de entrada, la actualización con${\displaystyle \varphi }$siempre generará un contexto que no pasa la prueba impuesta por${\displaystyle \Diamond \neg \varphi }$. ^{[ 8 ] [ 13 ]}