Reglamento de prendas de vestir impugnado

La regla de la prenda disputada (CG) , ^{[ 1 ]} también llamada concesión y división , ^{[ 2 ]} es una regla de división para resolver problemas de reclamaciones conflictivas (también llamados " problemas de quiebra "). La idea es que, si la reclamación de un reclamante es inferior al 100% del patrimonio a dividir, entonces efectivamente concede el patrimonio no reclamado al otro reclamante. Por lo tanto, la cantidad concedida por el reclamante se entrega primero al otro reclamante. La cantidad restante se divide entonces a partes iguales entre los dos reclamantes.

La regla CG apareció por primera vez en la Mishná , ejemplificada por un caso de conflicto por una prenda de vestir, de ahí su nombre. En la Mishná, se describía únicamente para problemas entre dos personas. Pero en 1985, Robert Aumann y Michael Maschler demostraron que, en cada problema de bancarrota, existe una división única que es consistente con la regla CG para cada par de reclamantes. ^{[ 1 ]} A la regla que selecciona esta división única la llaman regla consistente con CG (también se la conoce como regla del Talmud ). ^{[ 2 ]}

Existe un recurso divisible, denotado por${\displaystyle E}$(=Patrimonio o Dotación). Hay n personas que reclaman este recurso o partes del mismo; se les llama reclamantes . La cantidad reclamada por cada reclamante i se denota por${\displaystyle c_{i}}$. Denotamos${\displaystyle c_{N}:=\sum _{i=1}^{n}c_{i}=}$la reclamación total.${\displaystyle c_{N}>E}$, es decir, el patrimonio es insuficiente para satisfacer todas las reclamaciones. El objetivo es asignar a cada reclamante una cantidad${\displaystyle x_{i}}$de tal manera que${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=E}$.

Con dos reclamantes, la regla CG funciona de la siguiente manera.

• Truncar cada reclamación sobre la herencia (ya que no se permite reclamar más que la totalidad de la herencia). Es decir, establecer${\displaystyle c_{i}':=\min(c_{i},E)}$para cada reclamante i .
• Asignar al reclamante 1 una cantidad${\displaystyle E-c_{2}'}$es decir, la cantidad no reclamada por 2.
• Asignar al reclamante 2 una cantidad${\displaystyle E-c_{1}'}$es decir, la cantidad no reclamada por 1.
• El resto es${\displaystyle E-(E-c_{2}')-(E-c_{1}')=c_{1}'+c_{2}'-E}$; dividirlo equitativamente entre los reclamantes.

Sumando las cantidades entregadas a cada reclamante, podemos escribir la siguiente fórmula:

${\displaystyle CG(c_{1},c_{2};E)=\left({\frac {E+c_{1}'-c_{2}'}{2}}~,~{\frac {E+c_{2}'-c_{1}'}{2}}\right)}$

Por ejemplo:

• Si${\displaystyle E=1}$y${\displaystyle c_{1}=c_{2}=1}$, entonces ambos reclamantes obtienen 1/2, es decir,${\displaystyle CG(1,1;1)=(1/2,1/2)}$.
• Si${\displaystyle E=1}$y${\displaystyle c_{1}=1}$y${\displaystyle c_{2}=1/2}$. entonces el reclamante 1 obtiene 3/4 y el reclamante 2 obtiene 1/4, es decir,${\displaystyle CG(1,1/2;1)=(3/4,1/4)}$.

Estos dos ejemplos se mencionan por primera vez en la primera Mishná de Bava Metzia : ^{[ 3 ]}

"Dos personas sostienen una prenda. Una dice: "Yo la encontré", y la otra dice: "Yo la encontré":

• Si uno dice "todo es mío" y el otro dice "todo es mío", entonces este jurará que posee al menos la mitad, y este jurará que posee al menos la mitad, y lo dividirán entre ellos.
• Si uno dice: "Todo es mío" y el otro dice: "La mitad es mía", entonces el que dice: "Todo es mío" deberá jurar que posee no menos de tres cuartos; y el que dice: "La mitad es mía" deberá jurar que posee no menos de un cuarto; el primero se queda con tres cuartos y el segundo con un cuarto.

Para extender la regla CG a problemas con tres o más reclamantes, aplicamos el principio general de consistencia (también llamado coherencia ), que establece que cada parte de una división justa debe ser justa. ^{[ 4 ]} En particular, buscamos una asignación que respete la regla CG para cada par de reclamantes. Es decir, para cada reclamante i y j :

${\displaystyle (x_{i},x_{j})=CG(c_{i},c_{j};x_{i}+x_{j})}$.

A priori, no está claro que dicha asignación exista siempre, ni que sea única. Sin embargo, se puede demostrar que siempre existe una asignación consistente con CG única. ^{[ 1 ]} Se puede describir mediante el siguiente algoritmo:

• Si${\displaystyle E\leq c_{N}/2}$(es decir, el patrimonio total es menor que la mitad de las reclamaciones totales), luego aplique la regla de adjudicaciones iguales restringidas a la mitad de las reclamaciones, es decir, devuelva${\displaystyle CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E)}$.
• si${\displaystyle E\geq c_{N}/2}$, luego dar a cada reclamante la mitad de su reclamación, y luego aplicar la regla de pérdidas iguales restringidas al resto, es decir, devolver${\displaystyle (c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2)+CEL(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E-c_{N}/2)}$.

Tenga en cuenta que, con dos reclamantes, una vez que las reclamaciones se truncan para ser como máximo el patrimonio, la condición${\displaystyle E\geq c_{N}/2}$Siempre se cumple. Por ejemplo:

• ${\displaystyle CG(1,1/2;1)=(1/2,1/4)+CEL(1/2,1/4;1/4)=(1/2,1/4)+(1/4,0)=(3/4,1/4)}$.

Aquí hay algunos ejemplos con tres demandantes:

• ${\displaystyle CG(100,200,300;100)=(33.333,33.333,33.333)}$; aquí se utiliza CEA.
• ${\displaystyle CG(100,200,300;200)=(50,75,75)}$; aquí se utiliza CEA.
• ${\displaystyle CG(100,200,300;300)=(50,100,150)}$; aquí se puede utilizar CEA o CEL (el resultado es el mismo); cuando la suma de las reclamaciones es exactamente la mitad del patrimonio, cada reclamante recibe exactamente la mitad de su reclamación.
• ${\displaystyle CG(100,200,300;400)=(50,125,225)}$; aquí se utiliza CEL.
• ${\displaystyle CG(100,200,300;500)=(66.667,166.667,266.667)}$; aquí se utiliza CEL.
• ${\displaystyle CG(100,200,300;600)=(100,200,300)}$; aquí se utiliza CEL.

Los tres primeros ejemplos aparecen en otra Mishná, en Ketubot : ^{[ 5 ]}

"Supongamos que un hombre, que estaba casado con tres mujeres, muere; el contrato matrimonial de una esposa era por 100 dinares, el de la segunda por 200 dinares y el de la tercera por 300, y los tres contratos se emitieron en la misma fecha, de modo que ninguna de las esposas tiene precedencia sobre las demás."

• Si el valor total de la herencia es de tan solo 100 dinares, las esposas se la reparten a partes iguales.
• Si la herencia asciende a 200 dinares, la primera esposa se queda con 50 dinares, mientras que las otras dos reciben tres dinares de oro cada una, lo que equivale a 75 dinares de plata.
• Si la herencia asciende a 300 dinares, la primera esposa se queda con 50 dinares, la segunda con 100 dinares y la tercera con seis dinares de oro, el equivalente a 150 dinares de plata.

CG satisface la independencia de reclamaciones irrelevantes . Esto significa que aumentar la reclamación por encima del patrimonio total no cambia la asignación. Formalmente:${\displaystyle CG(c,E)=CG(\min(c,E),E)}$. ^{[ 7 ]}

CG es autodual . Esto significa que trata las ganancias y las pérdidas de forma simétrica: divide las ganancias de la misma manera que divide las pérdidas. Formalmente:${\displaystyle CG(c,E)=c-CG(c,C-E)}$, ^{[ 1 ] [ 7 ]} donde C es la suma de todas las reclamaciones.

CG satisface el principio de igualdad de trato entre iguales : los agentes con la misma reclamación recibirán exactamente la misma asignación.

CG satisface la separabilidad : definir${\displaystyle v_{i}=\max(0,E-\sum _{j}c_{j})}$= la suma concedida a i por todos los demás agentes. Entonces, CG se puede separar en dos fases de la siguiente manera: primero, cada agente i obtiene v _i ; luego, se activa la misma regla en las reclamaciones restantes y el patrimonio restante.

• Nótese que la separabilidad es el dual de la independencia de las afirmaciones irrelevantes. ^{[ 8 ]}

CG satisface la garantía . Esto significa que a cada agente con una reclamación factible ( c _i ≤ E) se le garantiza al menos 1/ n de su reclamación:${\displaystyle CG(c,E)_{i}\geq \min(c_{i},E)/n}$(esta propiedad es similar a la proporcionalidad ). De hecho, CG satisface una propiedad más fuerte:${\displaystyle CG(c,E)_{i}\geq \min(c_{i}/2,E/n)}$. ^{[ 9 ]}

CG también satisface la propiedad dual de garantía: la pérdida de cada agente i con reclamación como máximo la pérdida total C- E , es al menos 1/ n de su reclamación: ${\displaystyle c_{i}-CG(c,E)_{i}\geq \min(c_{i},C-E)/n}$. ^{[ 9 ]}

Ly, Zakharevich, Kosheleva y Kreinovich ^{[ 13 ]} demuestran que CG para dos agentes satisface una noción de equidad basada en la igualdad de distancia desde un punto de statu quo . Varias otras reglas se basan en esta noción de equidad, por ejemplo:

• El sistema de premios iguales restringidos tiene como objetivo igualar la distancia desde el punto de statu quo (0,0);
• Las pérdidas iguales restringidas tienen como objetivo igualar la distancia desde el punto de statu quo (c ₁ ,c ₂ ).

Esto plantea la cuestión de qué puntos de statu quo son razonables. Para cada reclamante, puede haber todo un intervalo de posibles puntos de statu quo, por ejemplo:

• Si E ≤ c ₁ ≤ c ₂ , entonces para ambos agentes el rango de resultados posibles es [0, E ], por lo que el punto de statu quo puede ser cualquier punto en [0, E ]x[0, E ].
• Si c ₁ ≤ E ≤ c ₂ , entonces para el agente 1 el rango de resultados posibles es [0, c ₁ ] ya que el agente no puede obtener más de lo que reclama. Para el agente 2, el peor resultado es que el agente 1 obtenga c ₁ ; por lo tanto, el rango de resultados posibles es [Ec ₁ , E].
• Si c ₁ ≤ c ₂ ≤ E, entonces para el agente 1 el rango de resultados posibles es [Ec ₂ , c ₁ ], y de manera similar para el agente 2 el rango es [Ec ₁ , c ₂ ].

Los agentes pueden ser optimistas y fijarse en los valores más altos de su intervalo, o ser pesimistas y fijarse en los valores más bajos de su intervalo, o en general fijarse en cualquier punto intermedio r *max+(1- r )*min, donde r es el "coeficiente de optimismo". Para cualquier coeficiente de optimismo r , obtenemos un punto de statu quo diferente.

La regla CG selecciona, para cualquier coeficiente de optimismo r , un resultado en el que ambos reclamantes están igualmente alejados de su punto de statu quo correspondiente a r . ^{[ 13 ]}

Zvi Menahem Piniles, un erudito judío del siglo XIX, presentó una regla diferente para explicar los casos en Ketubot. ^{[ 17 ]} Su regla es similar a la regla CG, pero no es consistente con la regla CG cuando hay dos reclamantes. La regla funciona de la siguiente manera: ^{[ 2 ]}

• Si la suma de las reclamaciones es mayor que 2 E , entonces aplica la regla CEA a la mitad de las reclamaciones, es decir, devuelve${\displaystyle CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E)}$.
• De lo contrario, le da a cada agente la mitad de su reclamación y luego aplica la CEA al resto, es decir, devuelve${\displaystyle (c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2)+CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E-\sum _{j=1}^{n}c_{j}/2)}$.

Ejemplos con dos demandantes:

• ${\displaystyle PINI(60,90;100)=(42.5,57.5)}$. Inicialmente los reclamantes obtienen (30,45). Las reclamaciones restantes son (30,45) y el patrimonio restante es 25, por lo que se divide en partes iguales.
• ${\displaystyle PINI(50,100;100)=(37.5,62.5)}$. Inicialmente los reclamantes obtienen (25,50). Las reclamaciones restantes son (25,50) y el patrimonio restante es 25, por lo que se divide en partes iguales.
• ${\displaystyle PINI(50,100;100)=(37.5,62.5)}$. Inicialmente los reclamantes obtienen (25,50). Las reclamaciones restantes son (25,50) y el patrimonio restante es 25, por lo que se divide en partes iguales.

Ejemplos con tres demandantes:

• ${\displaystyle PINI(100,200,300;100)=(33.333,33.333,33.333)}$. Aquí la suma de las reclamaciones es más del doble del patrimonio, por lo que el resultado es${\displaystyle CEA(50,100,150;100)=(33.333,33.333,33.333)}$.
• ${\displaystyle PINI(100,200,300;200)=(50,75,75)}$. Nuevamente, la suma de las reclamaciones es más del doble del patrimonio, por lo que el resultado es${\displaystyle CEA(50,100,150;200)=(50,75,75)}$.
• ${\displaystyle PINI(100,200,300;300)=(50,100,150)}$. Nuevamente, la suma de las reclamaciones es más del doble del patrimonio, por lo que el resultado es${\displaystyle CEA(50,100,150;300)=(50,100,150)}$.

Moreno-Ternero y Villar ^{[ 18 ]} definen una familia de reglas, a la que denominan familia TAL, que generaliza la regla del Talmud, así como las asignaciones iguales restringidas y las pérdidas iguales restringidas . Cada regla de la familia TAL está parametrizada por un parámetro t en [0,1]. La regla TAL_t divide la herencia de la siguiente manera:

• Si${\displaystyle E\leq t\cdot c_{N}}$, entonces el resultado es${\displaystyle CEA(tc_{1},\ldots ,tc_{n};E)}$; por lo tanto, cada reclamante i recibe como máximo${\displaystyle t\cdot c_{i}}$.
• Si${\displaystyle E=t\cdot c_{N}}$, entonces cada reclamante i recibe exactamente${\displaystyle t\cdot c_{i}}$.
• Si${\displaystyle E\geq t\cdot c_{N}}$, entonces el resultado es${\displaystyle (tc_{1},\ldots ,tc_{n})+CEL((1-t)c_{1},\ldots ,(1-t)c_{n};E-tc_{N})}$; por lo tanto, cada reclamante i recibe al menos${\displaystyle t\cdot c_{i}}$.

Una descripción equivalente es: los reclamantes reciben dinero a una tasa igual, hasta que el reclamante con la cantidad más baja (1) haya recibido t*c 1. _Luego , el reclamante con la cantidad más baja se retira, y los demás continúan hasta que el segundo reclamante con la cantidad más baja (2) haya recibido t*c 2. _Esto continúa hasta que todos los reclamantes hayan recibido${\displaystyle t\cdot c_{i}}$Si queda algún saldo, los reclamantes vuelven a entrar, del mayor al menor, y reciben dinero hasta que sus pérdidas se igualen.

En esta familia, TAL-0 es CEL; TAL-1/2 es CG; y TAL-1 es CEA. El dual de TAL_t es TAL_(1-t). Todas las reglas de esta familia tienen las siguientes propiedades:

• Son paramétricos : agente iEl premio de depende únicamente de c _i y de algún parámetro que depende de E.
• Satisfacen el principio de igualdad de trato entre iguales .
• Son continuos .
• Son consistentes .
• Son mecanismos para preservar el orden: los agentes con mayores reclamaciones obtienen mayores recompensas y sufren mayores pérdidas.
• Satisfacen la monotonicidad de las reclamaciones: aumentar una reclamación aumenta levemente la indemnización.
• Son homogéneos : al multiplicar las reclamaciones y la dotación por el mismo número positivo, el resultado se multiplica por el mismo número.
• Satisfacen la monotonicidad de los recursos .

Algunas propiedades solo las satisfacen subconjuntos de la familia TAL:

• Todas y solo las reglas TAL- t con t en [1/2,1] son ​​independientes de reclamos irrelevantes (los reclamos mayores que E pueden truncarse a E sin efecto en el resultado) y satisfacen la seguridad.
• Todas y solo las reglas TAL- t con t en [0,1/2] son ​​separables (satisfacen la composición a partir de la independencia mínima) y satisfacen el dual de la seguridad.
• Solo CEA y CEL cumplen con los requisitos de composición ascendente y composición descendente.
• Si t ₁ ≥ t ₂ , entonces el resultado de TAL-t ₁ siempre domina al resultado TAL-t ₂ en el orden de Lorenz (lo que significa, intuitivamente, que es más igualitario ).

• Steven Landsburg , Que el rabino reparta el pastel: La sabiduría talmúdica aplicada a la bancarrota