Conservation law

In physics, a conservation law states that a particular measurable property of an isolated physical system does not change as the system evolves over time. Exact conservation laws include conservation of mass-energy, conservation of linear momentum, conservation of angular momentum, and conservation of electric charge. There are also many approximate conservation laws, which apply to such quantities as mass, parity,^[1]lepton number, baryon number, strangeness, hypercharge, etc. These quantities are conserved in certain classes of physics processes, but not in all.

A local conservation law is usually expressed mathematically as a continuity equation, a partial differential equation which gives a relation between the amount of the quantity and the "transport" of that quantity. It states that the amount of the conserved quantity at a point or within a volume can only change by the amount of the quantity which flows in or out of the volume.

From Noether's theorem, every differentiable symmetry leads to a local conservation law.^[2][3][4] Other conserved quantities can exist as well.

Conservation laws are fundamental to our understanding of the physical world, in that they describe which processes can or cannot occur in nature. For example, the conservation law of energy states that the total quantity of energy in an isolated system does not change, though it may change form. In general, the total quantity of the property governed by that law remains unchanged during physical processes. With respect to classical physics, conservation laws include conservation of energy, mass (or matter), linear momentum, angular momentum, and electric charge. With respect to particle physics, particles cannot be created or destroyed except in pairs, where one is ordinary and the other is an antiparticle. With respect to symmetries and invariance principles, three special conservation laws have been described, associated with inversion or reversal of space, time, and charge.

Conservation laws are considered to be fundamental laws of nature, with broad application in physics, as well as in other fields such as chemistry, biology, geology, and engineering.

Most conservation laws are exact, or absolute, in the sense that they apply to all possible processes. Some conservation laws are partial, in that they hold for some processes but not for others.

One particularly important result concerning local conservation laws is Noether's theorem, which states that there is a one-to-one correspondence between each one of them and a differentiablesymmetry of the Universe. For example, the local conservation of energy follows from the uniformity of time and the local conservation of angular momentum arises from the isotropy of space,^[2][5][4] i.e. because there is no preferred direction of space. Notably, there is no conservation law associated with time-reversal, although more complex conservation laws combining time-reversal with other symmetries are known.

A partial listing of physical conservation equations due to symmetry that are said to be exact laws, or more precisely have never been proven to be violated:

Otra simetría exacta es la simetría CPT , que consiste en la inversión simultánea de las coordenadas espaciales y temporales, junto con el intercambio de todas las partículas por sus antipartículas; sin embargo, al ser una simetría discreta, el teorema de Noether no se aplica a ella. Por consiguiente, la magnitud conservada, la paridad CPT , generalmente no puede calcularse ni determinarse de forma significativa.

También existen leyes de conservación aproximadas . Estas son aproximadamente ciertas en situaciones particulares, como velocidades bajas, escalas de tiempo cortas o ciertas interacciones.

• Conservación de la energía mecánica (macroscópica) (aproximadamente válida para procesos prácticamente libres de fuerzas disipativas como la fricción).
• Conservación de la masa (en reposo) (aproximadamente válida para velocidades no relativistas )
• Conservación del número bariónico (Véase anomalía quiral y esfalerón )
• Conservación del número leptónico (en el Modelo Estándar )
• Conservación del sabor (violada por la interacción débil )
• Conservación de la extrañeza (violada por la interacción débil )
• Conservación de la paridad espacial (violada por la interacción débil )
• Conservación de la paridad de carga (violada por la interacción débil )
• Conservación de la paridad temporal (violada por la interacción débil )
• Conservación de la paridad CP (violada por la interacción débil )
• Conservación de la simetría CPT (en el Modelo Estándar ).

La cantidad total de alguna magnitud conservada en el universo podría permanecer inalterada si una cantidad igual apareciera en un punto A y desapareciera simultáneamente de otro punto B distinto . Por ejemplo, una cantidad de energía podría aparecer en la Tierra sin cambiar la cantidad total en el Universo si la misma cantidad de energía desapareciera de alguna otra región del Universo. Esta forma débil de conservación "global" no es realmente una ley de conservación porque no es invariante de Lorentz , por lo que fenómenos como el anterior no ocurren en la naturaleza. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Debido a la relatividad especial , si la aparición de la energía en A y la desaparición de la energía en B son simultáneas en un sistema de referencia inercial , no lo serán en otros sistemas de referencia inerciales que se mueven con respecto al primero. En un sistema de referencia en movimiento, una ocurrirá antes que la otra; o bien la energía en A aparecerá antes o después de que la energía en B desaparezca. En ambos casos, durante el intervalo la energía no se conservará.

Una forma más estricta de ley de conservación requiere que, para que la cantidad de una magnitud conservada en un punto cambie, debe existir un flujo de dicha magnitud hacia o desde ese punto. Por ejemplo, la cantidad de carga eléctrica en un punto nunca cambia sin una corriente eléctrica que entre o salga del punto y transporte la diferencia de carga. Dado que solo implica cambios locales continuos, este tipo más estricto de ley de conservación es invariante de Lorentz ; una magnitud conservada en un sistema de referencia se conserva en todos los sistemas de referencia en movimiento. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Esto se denomina ley de conservación local . ^{[ 6 ] [ 7 ]} La conservación local también implica la conservación global; es decir, que la cantidad total de la magnitud conservada en el Universo permanece constante. Todas las leyes de conservación enumeradas anteriormente son leyes de conservación local. Una ley de conservación local se expresa matemáticamente mediante una ecuación de continuidad , que establece que el cambio en la magnitud en un volumen es igual al "flujo" neto total de la magnitud a través de la superficie del volumen. Las siguientes secciones tratan sobre las ecuaciones de continuidad en general.

En mecánica de medios continuos , la forma más general de una ley de conservación exacta viene dada por una ecuación de continuidad . Por ejemplo, la conservación de la carga eléctrica q es$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \,}$$donde ∇⋅ es el operador de divergencia , ρ es la densidad de q (cantidad por unidad de volumen), j es el flujo de q (cantidad que cruza un área unitaria en una unidad de tiempo) y t es el tiempo.

Si suponemos que el movimiento u de la carga es una función continua de la posición y el tiempo, entonces$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &=\rho \mathbf {u} \\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&=-\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\,.\end{aligned}}}$$

En una dimensión espacial, esto se puede expresar en forma de una ecuación hiperbólica cuasilineal homogénea de primer orden : ^{[ 8 ] : 43}$${\displaystyle y_{t}+A(y)y_{x}=0}$$donde la variable dependiente y se denomina densidad de una cantidad conservada , y A ( y ) se denomina jacobiano actual , y se ha empleado la notación de subíndices para las derivadas parciales . El caso no homogéneo más general:$${\displaystyle y_{t}+A(y)y_{x}=s}$$No es una ecuación de conservación, sino el tipo general de ecuación de balance que describe un sistema disipativo . La variable dependiente y se llama cantidad no conservada , y el término no homogéneo s ( y , x , t ) es la fuente , o disipación . Por ejemplo, ecuaciones de balance de este tipo son las ecuaciones de Navier-Stokes de momento y energía , o el balance de entropía para un sistema aislado general .

En el espacio unidimensional , una ecuación de conservación es una ecuación hiperbólica cuasilineal de primer orden que puede expresarse en forma de advección :$${\displaystyle y_{t}+a(y)y_{x}=0}$$donde la variable dependiente y ( x , t ) se denomina densidad de la cantidad conservada (escalar), y a ( y ) se denomina coeficiente de corriente , que generalmente corresponde a la derivada parcial en la cantidad conservada de una densidad de corriente de la cantidad conservada j ( y ) : ^{[ 8 ] : 43}$${\displaystyle a(y)=j_{y}(y)}$$

En este caso, dado que se aplica la regla de la cadena :$${\ Displaystyle j_ {x} = j_ {y} (y) y_ {x} = a (y) y_ {x}}$$La ecuación de conservación se puede expresar en forma de densidad de corriente:$${\displaystyle y_{t}+j_{x}(y)=0}$$

En un espacio con más de una dimensión, la definición anterior puede extenderse a una ecuación que puede expresarse de la siguiente forma:$${\displaystyle y_{t}+\mathbf {a} (y)\cdot \nabla y=0}$$

donde la cantidad conservada es y ( r , t ) , ⋅ denota el producto escalar , ∇ es el operador nabla , que aquí indica un gradiente , y a ( y ) es un vector de coeficientes de corriente, que corresponde análogamente a la divergencia de una densidad de corriente vectorial asociada a la cantidad conservada j ( y ) :$${\displaystyle y_{t}+\nabla \cdot \mathbf {j} (y)=0}$$

Este es el caso de la ecuación de continuidad :$${\displaystyle \rho _ {t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$$

Aquí la cantidad conservada es la masa , con densidad ρ ( r , t ) y densidad de corriente ρ u , idéntica a la densidad de momento , mientras que u ( r , t ) es la velocidad del flujo .

En el caso general, una ecuación de conservación también puede ser un sistema de ecuaciones de este tipo (una ecuación vectorial ) de la forma: ^{[ 8 ] : 43}$${\displaystyle \mathbf {y} _ {t}+\mathbf {A} (\mathbf {y} )\cdot \nabla \mathbf {y} =\mathbf {0} }$$donde y se denomina cantidad conservada ( vectorial ), ∇ y es su gradiente , 0 es el vector cero y A ( y ) se denomina jacobiano de la densidad de corriente. De hecho, al igual que en el caso escalar anterior, también en el caso vectorial A ( y ) suele corresponder al jacobiano de una matriz de densidad de corriente J ( y ) :$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {y} )=\mathbf {J} _{\mathbf {y} }(\mathbf {y} )}$$y la ecuación de conservación se puede expresar de la siguiente forma:$${\displaystyle \mathbf {y} _{t}+\nabla \cdot \mathbf {J} (\mathbf {y} )=\mathbf {0} }$$

Por ejemplo, este es el caso de las ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos). En el caso simple e incompresible, son:$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\,,&{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +\nabla s&=\mathbf {0} ,\end{aligned}}}$$

dónde:

• u es elvectorde velocidad del flujo , con componentes en un espacio N-dimensional u ₁ , u ₂ , ..., u _N ,
• s es la presión específica(presión por unidad de densidad ) que da el término fuente ,

Se puede demostrar que la cantidad (vectorial) conservada y la matriz de densidad de corriente para estas ecuaciones son, respectivamente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} &={\begin{pmatrix}1\\\mathbf {u} \end{pmatrix}};&\mathbf {J} &={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +s\mathbf {I} \end{pmatrix}};\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle \otimes }$denota el producto exterior .

Las ecuaciones de conservación también pueden expresarse en forma integral: la ventaja de esta última radica en que requiere una menor suavidad de la solución, lo que abre el camino a la forma débil , extendiendo la clase de soluciones admisibles para incluir soluciones discontinuas. ^{[ 8 ] : 62–63} Integrando en cualquier dominio espacio-temporal la forma de densidad de corriente en el espacio unidimensional:$${\displaystyle y_{t}+j_{x}(y)=0}$$y utilizando el teorema de Green , la forma integral es:$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }y\,dx+\int _{0}^{\infty }j(y)\,dt=0}$$

De manera similar, para el espacio multidimensional escalar, la forma integral es:$${\displaystyle \oint \left[y\,d^{N}\mathbf {r} +j(y)\,dt\right]=0}$$donde la integración lineal se realiza a lo largo del límite del dominio, en sentido antihorario. ^{[ 8 ] : 62–63}

Además, al definir una función de prueba φ ( r , t ) continuamente diferenciable tanto en el tiempo como en el espacio con soporte compacto, se puede obtener la forma débil pivotando sobre la condición inicial . En el espacio unidimensional es: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\left[\phi _{t}y+\phi _{x}j(y)\right]dx\,dt=-\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x,0)y(x,0)\,dx}$$

En la formulación débil, todas las derivadas parciales de la densidad y la densidad de corriente se han pasado a la función de prueba, la cual, con la hipótesis anterior, es suficientemente suave como para admitir dichas derivadas. ^{[ 8 ] : 62–63}

• Invariante (física)
• Impulso
  • ecuación de momento de Cauchy
• Energía
  • Conservación de la energía y la primera ley de la termodinámica
• Sistema conservador
• Cantidad conservada
  • Algunos tipos de helicidad se conservan en el límite sin disipación: helicidad hidrodinámica , helicidad magnética , helicidad cruzada .
• Principio de mutabilidad
• Ley de conservación del tensor energía-impulso
• invariante de Riemann
• Filosofía de la física
• Principio totalitario
• Ecuación de convección-difusión
• Uniformidad de la naturaleza

• Philipson, Schuster, Modelado mediante ecuaciones diferenciales no lineales: procesos disipativos y conservativos , World Scientific Publishing Company 2009.
• Victor J. Stenger , 2000. Realidad atemporal: simetría, simplicidad y universos múltiples . Buffalo, NY: Prometheus Books. El capítulo 12 es una introducción sencilla a la simetría, la invariancia y las leyes de conservación.
• E. Godlewski y PA Raviart, Sistemas hiperbólicos de leyes de conservación, Ellipses, 1991.

• Contenido multimedia relacionado con las leyes de conservación en Wikimedia Commons.
• Leyes de conservación – Capítulos 11 a 15 en un libro de texto en línea