Problema de incrustación de Connes

El problema de incrustación de Connes , formulado por Alain Connes en la década de 1970, es un problema fundamental en la teoría del álgebra de von Neumann . Durante ese tiempo, el problema se reformuló en diversas áreas de las matemáticas . Dan Voiculescu, al desarrollar su teoría de la entropía libre, descubrió que el problema de incrustación de Connes está relacionado con la existencia de microestados. Algunos resultados de la teoría del álgebra de von Neumann pueden obtenerse asumiendo una solución positiva al problema. Este problema está vinculado a cuestiones básicas de la teoría cuántica, lo que llevó a la constatación de que también tiene importantes implicaciones en la informática .

El problema admite varias formulaciones equivalentes. ^{[ 1 ]} En particular, es equivalente a los siguientes problemas de larga data:

• La conjetura QWEP de Kirchberg en la teoría del álgebra C*.
• El problema de Tsirelson en la teoría de la información cuántica.
• El predual de cualquier álgebra de von Neumann (separable) es finitamente representable en la clase de traza.

En enero de 2020, Ji, Natarajan, Vidick, Wright y Yuen anunciaron un resultado en la teoría de la complejidad cuántica ^{[ 2 ]} que implica una respuesta negativa al problema de incrustación de Connes. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Sin embargo, en septiembre de 2020 se descubrió un error en un resultado anterior que utilizaron; una nueva demostración que evitaba el resultado anterior se publicó como preimpresión en septiembre. ^{[ 5 ]} Un esquema general se publicó en Communications of the ACM en noviembre de 2021, ^{[ 6 ]} y un artículo que explicaba la conexión entre MIP*=RE y el problema de incrustación de Connes apareció en octubre de 2022. ^{[ 7 ]}

Dejar${\displaystyle \omega }$Sea R un ultrafiltro libre sobre los números naturales y sea R el factor hiperfinito de tipo II ₁ con traza${\displaystyle \tau }$Se puede construir la ultrapotencia${\displaystyle R^{\omega }}$de la siguiente manera: sea${\displaystyle l^{\infty }(R)=\{(x_{n})_{n}\subseteq R:\sup _{n}||x_{n}||<\infty \}}$Sea el álgebra de von Neumann de secuencias acotadas en norma y sea${\displaystyle I_{\omega }=\{(x_{n})\in l^{\infty }(R):\lim _{n\rightarrow \omega }\tau (x_{n}^{*}x_{n})^{\frac {1}{2}}=0\}}$. El cociente${\displaystyle R^{\omega }=l^{\infty }(R)/I_{\omega }}$Resulta ser un factor II _{1 con traza}${\displaystyle \tau _{R^{\omega }}(x)=\lim _{n\rightarrow \omega }\tau (x_{n}+I_{\omega })}$, dónde${\displaystyle (x_{n})_{n}}$es cualquier secuencia representativa de${\displaystyle x}$.

El problema de incrustación de Connes pregunta si cada factor de tipo II ₁ en un espacio de Hilbert separable puede incrustarse en algún${\displaystyle R^{\omega }}$.

Una solución positiva al problema implicaría que existen subespacios invariantes para una gran clase de operadores en factores de tipo II _{1 (} Uffe Haagerup ); todos los grupos discretos numerables son hiperlineales . Una solución positiva al problema estaría implicada por la igualdad entre la entropía libre.${\displaystyle \chi ^{*}}$y entropía libre definida por microestados ( Dan Voiculescu ). En enero de 2020, un grupo de investigadores ^{[ 2 ]} afirmó haber resuelto el problema en negativo, es decir, existen factores de von Neumann de tipo II ₁ que no se incrustan en una ultrapotencia${\displaystyle R^{\omega }}$del factor hiperfinito II _{1 .}

La clase de isomorfismo de${\displaystyle R^{\omega }}$es independiente del ultrafiltro si y solo si la hipótesis del continuo es verdadera (Ge-Hadwin y Farah-Hart-Sherman), pero dicha propiedad de incrustación no depende del ultrafiltro porque las álgebras de von Neumann que actúan sobre espacios de Hilbert separables son, en términos generales, muy pequeñas.

El problema admite varias formulaciones equivalentes. ^{[ 1 ]}

• Taller de Connes sobre el problema de la incrustación y la teoría de la información cuántica; Universidad de Vanderbilt en Nashville, Tennessee; del 1 al 7 de mayo de 2020 ( aplazado; fecha por confirmar ).
• El problema de incrustación de Connes, con sus múltiples facetas; BIRS, Canadá; 14-19 de julio de 2019.
• Curso de invierno: El problema de incrustación de Connes y la teoría de la información cuántica; Universidad de Oslo, del 7 al 11 de enero de 2019.
• Taller sobre grupos sóficos e hiperlineales y la conjetura de incrustación de Connes; UFSC Florianópolis, Brasil; 10-21 de junio de 2018
• Propiedades de aproximación en álgebras de operadores y teoría ergódica; UCLA; 30 de abril - 5 de mayo de 2018
• Álgebras de operadores y teoría de la información cuántica; Instituto Henri Poincaré, París; diciembre de 2017
• Taller sobre espacios de operadores, análisis armónico y probabilidad cuántica; ICMAT, Madrid; 20 de mayo - 14 de junio de 2013
• Taller de Fields sobre el problema de incrustación de Connes – Universidad de Ottawa, 16-18 de mayo de 2008

• Capraro, Valerio (2010). "Una encuesta sobre la conjetura de incrustación de Connes". arXiv : 1003.2076 [ matemáticas.OA ].
• Farah, I.; Hart, B.; Sherman, D. (2013). "Teoría de modelos de álgebras de operadores I: estabilidad". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 45 (4): 825– 838. arXiv : 0908.2790 . doi : 10.1112/blms/bdt014 . S2CID 15024863 . 
• Ge; Hadwin (2001). "Ultraproductos de C*-álgebras". Avances recientes en teoría de operadores y temas relacionados . Teoría de operadores: avances y aplicaciones. Vol.  127. pp. 305–326 . doi : 10.1007/978-3-0348-8374-0_17 . ISBN  978-3-0348-9539-2.
• Collins, Benoit; Dykema, Ken (2008). "Una linealización del problema de incrustación de Connes" (PDF) . New York Journal of Mathematics . 14 : 617–641 .
• Sherman, David (2008). "Notas sobre automorfismos de ultrapotencias de II ₁ factores". arXiv : 0809.4439 [ math.OA ].
• Pisier, Gilles (2020). "Productos tensoriales de C*-álgebras y espacios de operadores: El problema de Connes-Kirchberg" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 19 de abril de 2021. Recuperado el 25 de enero de 2020 .