Medida de riesgo dinámica

En matemáticas financieras , una medida de riesgo condicional es una variable aleatoria del riesgo financiero (en particular, el riesgo a la baja ) como si se midiera en algún momento futuro. Una medida de riesgo puede considerarse como una medida de riesgo condicional en el álgebra sigma trivial .

Una medida de riesgo dinámica es una medida de riesgo que aborda la cuestión de cómo se relacionan las evaluaciones de riesgo en diferentes momentos. Puede interpretarse como una secuencia de medidas de riesgo condicionales. ^{[ 1 ]}

Novak ha sugerido un enfoque diferente para la medición dinámica del riesgo. ^{[ 2 ]}

Consideremos los rendimientos de una cartera en un momento final determinado.${\displaystyle T}$como una variable aleatoria que está uniformemente acotada , es decir,${\displaystyle X\in L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{T}\right)}$denota el rendimiento de una cartera. Un mapeo${\displaystyle \rho _{t}:L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{T}\right)\rightarrow L_{t}^{\infty }=L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{t}\right)}$es una medida de riesgo condicional si tiene las siguientes propiedades para rendimientos de cartera aleatorios${\displaystyle X,Y\in L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{T}\right)}$: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Invarianza de efectivo condicional

${\displaystyle \forall m_{t}\in L_{t}^{\infty }:\;\rho _{t}(X+m_{t})=\rho _{t}(X)-m_{t}}$

Monotonicidad

${\displaystyle \mathrm {Si} \;X\leq Y\;\mathrm {entonces} \;\rho _{t}(X)\geq \rho _{t}(Y)}$

Normalización

${\displaystyle \rho _{t}(0)=0}$

Si se trata de una medida de riesgo convexa condicional , también tendrá la propiedad:

Convexidad condicional

${\displaystyle \forall \lambda \in L_{t}^{\infty },0\leq \lambda \leq 1:\rho _{t}(\lambda X+(1-\lambda )Y)\leq \lambda \rho _{t}(X)+(1-\lambda )\rho _{t}(Y)}$

Una medida de riesgo coherente condicional es una medida de riesgo convexa condicional que además satisface:

Homogeneidad positiva condicional

${\displaystyle \forall \lambda \in L_{t}^{\infty },\lambda \geq 0:\rho _{t}(\lambda X)=\lambda \rho _{t}(X)}$

La aceptación establecida en el momento${\displaystyle t}$asociado con una medida de riesgo condicional es

${\displaystyle A_{t}=\{X\in L_{T}^{\infty }:\rho _{t}(X)\leq 0{\text{ cuando}}\}}$.

Si se le da una aceptación establecida en el momento${\displaystyle t}$entonces la medida de riesgo condicional correspondiente es

${\displaystyle \rho _{t}={\text{ess}}\inf\{Y\in L_{t}^{\infty }:X+Y\in A_{t}\}}$

dónde${\displaystyle {\text{ess}}\inf }$es el mínimo esencial . ^{[ 5 ]}

Una medida de riesgo condicional${\displaystyle \rho _{t}}$Se dice que es regular si por alguna razón${\displaystyle X\in L_{T}^{\infty }}$y${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{t}}$entonces${\displaystyle \rho _{t}(1_{A}X)=1_{A}\rho _{t}(X)}$dónde${\displaystyle 1_{A}}$¿Está activada la función indicadora ?${\displaystyle A}$Cualquier medida de riesgo convexa condicional normalizada es regular. ^{[ 3 ]}

La interpretación financiera de esto establece que el riesgo condicional en algún nodo futuro (es decir,${\displaystyle \rho _{t}(X)[\omega ]}$) solo depende de los posibles estados desde ese nodo. En un modelo binomial, esto sería similar a calcular el riesgo en el subárbol que se ramifica desde el punto en cuestión.

Una medida de riesgo dinámica es consistente en el tiempo si y solo si${\displaystyle \rho _{t+1}(X)\leq \rho _{t+1}(Y)\Rightarrow \rho _{t}(X)\leq \rho _{t}(Y)\;\forall X,Y\in L^{0}({\mathcal {F}}_{T})}$. ^{[ 6 ]}

El precio de supercobertura dinámica implica medidas de riesgo condicionales de la forma ${\displaystyle \rho _{t}(-X)=\operatorname {*} {ess\sup }_{Q\in EMM}\mathbb {E} ^{Q}[X|{\mathcal {F}}_{t}]}$Se demuestra que esta es una medida de riesgo consistente en el tiempo.