Ínfimo esencial y supremo esencial

En matemáticas , los conceptos de ínfimo esencial y supremo esencial están relacionados con las nociones de ínfimo y supremo , pero adaptados a la teoría de la medida y al análisis funcional , donde a menudo se trata de afirmaciones que no son válidas para todos los elementos de un conjunto , sino casi en todas partes , es decir, excepto en un conjunto de medida cero .

Aunque la definición exacta no es inmediatamente sencilla, intuitivamente el supremo esencial de una función es el valor más pequeño que es mayor o igual que los valores de la función en todas partes, ignorando lo que hace la función en un conjunto de puntos de medida cero. Por ejemplo, si se toma la función${\displaystyle f(x)}$que es igual a cero en todas partes excepto en${\displaystyle x=0}$dónde${\displaystyle f(0)=1,}$entonces el supremo de la función es igual a uno. Sin embargo, su supremo esencial es cero ya que (bajo la medida de Lebesgue ) se puede ignorar lo que hace la función en el único punto donde${\displaystyle f}$es peculiar. El ínfimo esencial se define de manera similar.

Como suele ocurrir en cuestiones de teoría de la medida, la definición de supremo e ínfimo esenciales no comienza preguntando qué función${\displaystyle f}$En algunos puntos sí lo hace${\displaystyle x}$(es decir, la imagen de${\displaystyle f}$), sino más bien pidiendo el conjunto de puntos${\displaystyle x}$dónde${\displaystyle f}$equivale a un valor específico${\displaystyle y}$(es decir, la preimagen de${\displaystyle y}$bajo${\displaystyle f}$).

Dejar${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$sea ​​una función de valor real definida en un conjunto${\displaystyle X.}$El supremo de una función${\displaystyle f}$Se caracteriza por la siguiente propiedad:${\displaystyle f(x)\leq \sup f\leq \infty }$a pesar de${\displaystyle x\in X}$y si para algunos${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$tenemos${\displaystyle f(x)\leq a}$a pesar de${\displaystyle x\in X}$entonces${\displaystyle \sup f\leq a.}$ Más concretamente, un número real${\displaystyle a}$se denomina límite superior para${\displaystyle f}$si${\displaystyle f(x)\leq a}$a pesar de${\displaystyle x\in X;}$es decir, si el conjunto $${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )=\{x\in X:f(x)>a\}}$$ está vacío . Deje $${\displaystyle U_{f}=\{a\in \mathbb {R} :f^{-1}(a,\infty )=\varnothing \}\,}$$ sea ​​el conjunto de límites superiores de${\displaystyle f}$y definimos el ínfimo del conjunto vacío por${\displaystyle \inf \varnothing =+\infty .}$Entonces el supremo de${\displaystyle f}$es $${\displaystyle \sup f=\inf U_{f}.}$$ Por definición, si el conjunto de límites superiores${\displaystyle U_{f}}$está vacío, tenemos${\displaystyle \sup f=+\infty }$.

Ahora supongamos además que${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$es un espacio de medida y, por simplicidad, supongamos que la función${\displaystyle f}$es medible . De forma similar al supremo, el supremo esencial de una función se caracteriza por la siguiente propiedad:${\displaystyle f(x)\leq \operatorname {ess} \sup f\leq \infty }$para${\displaystyle \mu }$- casi todos${\displaystyle x\in X}$y si para algunos${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$tenemos${\displaystyle f(x)\leq a}$para${\displaystyle \mu }$- casi todos${\displaystyle x\in X}$entonces${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f\leq a.}$Más concretamente, un número${\displaystyle a}$se llama unlímite superior esencial de${\displaystyle f}$si el conjunto medible${\displaystyle f^{-1}(a,\infty)}$es un conjunto de${\displaystyle \mu }$-medida cero, ^{[ a ]} ​​Es decir, si${\displaystyle f(x)\leq a}$para${\displaystyle \mu }$- casi todos${\displaystyle x}$en${\displaystyle X.}$Dejar $${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }=\{a\in \mathbb {R}$$ :\mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}} sea el conjunto de cotas superiores esenciales. Entonces elEl supremo esencial se define de manera similar a $${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=\inf U_{f}^{\mathrm {ess} }}$$ si${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }\neq \varnothing,}$y${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty }$de lo contrario.

Exactamente de la misma manera que se define elínfimum esencial como supremo de lalímite inferior esencial s, es decir, $${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R}$$ :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}} si el conjunto de límites inferiores esenciales no es vacío, y como${\displaystyle -\infty }$de lo contrario; nuevamente hay una expresión alternativa como ${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{a\in \mathbb {R} :f(x)\geq a{\text{ para casi todo }}x\in X\}}$ (siendo esto${\displaystyle -\infty }$si el conjunto está vacío).

En la recta real, consideremos la medida de Lebesgue y su correspondiente 𝜎 -álgebra.${\displaystyle \Sigma .}$Definir una función${\displaystyle f}$por la fórmula $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}5,&{\text{si }}x=1\\-4,&{\text{si }}x=-1\\2,&{\text{en otro caso.}}\end{cases}}}$$

El supremo de esta función (valor máximo) es 5, y el ínfimo (valor mínimo) es −4. Sin embargo, la función toma estos valores solo en los conjuntos${\displaystyle \{1\}}$y${\displaystyle \{-1\},}$respectivamente, que son de medida cero. En cualquier otro caso, la función toma el valor 2. Por lo tanto, el supremo esencial y el ínfimo esencial de esta función son ambos 2.

Como otro ejemplo, consideremos la función $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{3},&{\text{si }}x\in \mathbb {Q} \\\arctan x,&{\text{si }}x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} \\\end{cases}}}$$ dónde${\displaystyle \mathbb {Q} }$denota los números racionales . Esta función no está acotada ni superior ni inferiormente, por lo que su supremo e ínfimo son${\displaystyle \infty }$y${\displaystyle -\infty ,}$respectivamente. Sin embargo, desde el punto de vista de la medida de Lebesgue, el conjunto de los números racionales es de medida cero; por lo tanto, lo que realmente importa es lo que sucede en el complemento de este conjunto, donde la función se da como${\displaystyle \arctan x.}$De ello se deduce que el supremo esencial es${\displaystyle \pi /2}$mientras que el ínfimo esencial es${\displaystyle -\pi /2.}$

Por otro lado, consideremos la función${\displaystyle f(x)=x^{3}}$definido para todos los reales${\displaystyle x.}$Su supremo esencial es${\displaystyle +\infty ,}$y su ínfimo esencial es${\displaystyle -\infty .}$

Por último, consideremos la función $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{si }}x\neq 0\\0,&{\text{si }}x=0.\\\end{cases}}}$$ Entonces, para cualquier${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mu (\{x\in \mathbb {R} :1/x>a\})\geq {\tfrac {1}{|a|}}}$y entonces${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }=\varnothing }$y${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty .}$

Si${\displaystyle \mu (X)>0}$entonces $${\displaystyle \inf f~\leq ~\operatorname {ess} \inf f~\leq ~\operatorname {ess} \sup f~\leq ~\sup f.}$$ y de otro modo, si${\displaystyle X}$tiene medida cero entonces ^{[ 1 ]}$${\displaystyle +\infty ~=~\operatorname {ess} \inf f~\geq ~\operatorname {ess} \sup f~=~-\infty .}$$

Si${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son medibles, entonces

$${\displaystyle \operatorname {ess\,sup} (f+g)\leq \operatorname {ess\,sup} f+\operatorname {ess\,sup} g}$$

y

$${\displaystyle \operatorname {ess\,inf} (f+g)\geq \operatorname {ess\,inf} f+\operatorname {ess\,inf} g.}$$

Si${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son medibles y si${\displaystyle f\leq g}$casi en todas partes, entonces

$${\displaystyle \operatorname {ess\,sup} f\leq \operatorname {ess\,sup} g}$$

y

$${\displaystyle \operatorname {ess\,inf} f\leq \operatorname {ess\,inf} g.}$$

Si los supremos esenciales de dos funciones${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$Si ambos son no negativos, entonces ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup(fg)~\leq ~(\operatorname {ess} \sup f)\,(\operatorname {ess} \sup g).}$

El supremo esencial de una función no es solo el ínfimo de sus cotas superiores esenciales, sino también su mínimo. Un resultado similar se aplica al ínfimo esencial.

Dado un espacio de medida${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ),}$el espacio${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}$que consiste en todas las funciones medibles que están acotadas casi en todas partes es un espacio seminorma cuya seminorma$${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(x)|\leq C{\text{ for almost every }}x\}={\begin{cases}\operatorname {ess} \sup |f|&{\text{ if }}0<\mu (S),\\0&{\text{ if }}0=\mu (S),\end{cases}}}$$ es el supremo esencial del valor absoluto de una función cuando${\displaystyle \mu (S)\neq 0.}$^{[ b ]}

• Gama esencial
• ${\displaystyle L^{p}}$espacio – Espacios de funciones que generalizan espacios de norma p de dimensión finita 

Este artículo incorpora material de Essential supremum en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .