Cálculo

Un cálculo es cualquier tipo de cálculo aritmético o no aritmético que esté bien definido. ^[¹^]^[²^] Ejemplos comunes de cálculo son la resolución de ecuaciones matemáticas y la ejecución de algoritmos informáticos .

Los dispositivos mecánicos o electrónicos (o, históricamente , las personas) que realizan cálculos se conocen como computadoras . La informática es un campo académico que estudia la computación.

Introducción

La idea de que las proposiciones matemáticas deberían estar «bien definidas» había sido debatida por los matemáticos desde al menos el siglo XVII , ^{[ 3 ]} pero el acuerdo sobre una definición adecuada resultó difícil de alcanzar. ^{[ 4 ]} Varios matemáticos propusieron independientemente una definición candidata en la década de 1930. ^{[ 5 ]} La variante más conocida fue formalizada por el matemático Alan Turing , quien definió una proposición o cálculo bien definido como cualquier proposición que pudiera expresarse en términos de los parámetros de inicialización de una máquina de Turing . ^{[ 6 ]} Otras definiciones (matemáticamente equivalentes) incluyen la definibilidad lambda de Alonzo Church , la recursividad general de Herbrand - Gödel - Kleene y la 1-definibilidad de Emil Post . ^[⁵^]

Hoy en día, cualquier enunciado o cálculo formal que exhiba esta cualidad de estar bien definido se denomina computable , mientras que el enunciado o cálculo en sí mismo se denomina computación .

La definición de Turing atribuyó la "bien definida" a una clase muy amplia de enunciados matemáticos, incluyendo todos los enunciados algebraicos bien formados y todos los enunciados escritos en lenguajes de programación modernos. ^{[ 7 ]}

A pesar de la amplia aceptación de esta definición, existen algunos conceptos matemáticos que no tienen una caracterización bien definida bajo ella. Esto incluye el problema de la parada y el juego del castor ocupado . Sigue siendo una cuestión abierta si existe una definición más potente de «bien definido» que pueda abarcar tanto enunciados computables como «no computables». ^{[ nota 1 ]}^{[ 8 ]}

Algunos ejemplos de enunciados matemáticos que son computables incluyen:

Todas las declaraciones caracterizadas en lenguajes de programación modernos, incluidos C++ , Python y Java ^{[ 7 ].}
Todos los cálculos se realizan mediante un ordenador electrónico , una calculadora o un ábaco.
Todos los cálculos se realizaron en un motor analítico.
Todos los cálculos se realizaron en una máquina de Turing.
La mayoría de las afirmaciones y cálculos matemáticos que aparecen en los libros de texto de matemáticas.

Algunos ejemplos de enunciados matemáticos que no son computables incluyen:

Cálculos o afirmaciones mal definidas, de tal manera que no pueden codificarse de forma inequívoca en una máquina de Turing: ("Paul me quiere el doble que Joe").
Enunciados de problemas que parecen estar bien definidos, pero para los cuales se puede demostrar que no existe ninguna máquina de Turing que pueda resolverlos (como el problema de la parada ).

La computación puede considerarse un proceso puramente físico que tiene lugar dentro de un sistema físico cerrado llamado computadora . La demostración de Turing de 1937, " Sobre los números computables, con una aplicación al problema de decisión" , demostró que existe una equivalencia formal entre enunciados computables y sistemas físicos específicos, comúnmente llamados computadoras . Ejemplos de estos sistemas físicos son: máquinas de Turing , matemáticos humanos que siguen reglas estrictas, computadoras digitales , computadoras mecánicas , computadoras analógicas , entre otros.

Relatos alternativos de la computación

La cuenta de cartografía

Una explicación alternativa de la computación se encuentra en las obras de Hilary Putnam y otros. Peter Godfrey-Smith la ha denominado la "explicación de mapeo simple". ^{[ 9 ]} El resumen de esta explicación realizado por Gualtiero Piccinini afirma que se puede decir que un sistema físico realiza una computación específica cuando existe un mapeo entre el estado de ese sistema y la computación, de tal manera que los "estados microfísicos [del sistema] reflejan las transiciones de estado entre los estados computacionales". ^{[ 10 ]}

La explicación semántica

Filósofos como Jerry Fodor ^{[ 11 ]} han propuesto diversas explicaciones de la computación con la restricción de que el contenido semántico sea una condición necesaria para la misma (es decir, lo que diferencia un sistema físico arbitrario de un sistema computacional es que los operandos de la computación representan algo). Esta noción intenta evitar la abstracción lógica de la explicación del pancomputacionalismo basada en el mapeo , la idea de que se puede decir que todo computa todo.

La explicación mecanicista

Gualtiero Piccinini propone una explicación de la computación basada en la filosofía mecánica . Esta plantea que los sistemas de computación física son tipos de mecanismos que, por diseño, realizan computación física, o la manipulación (mediante un mecanismo funcional) de un vehículo "independiente del medio" según una regla. La "independencia del medio" requiere que la propiedad pueda ser instanciada por múltiples realizadores y múltiples mecanismos, y que las entradas y salidas del mecanismo también sean realizables de múltiples maneras . En resumen, la independencia del medio permite el uso de variables físicas con propiedades distintas al voltaje (como en las computadoras digitales típicas); esto es imperativo al considerar otros tipos de computación, como la que ocurre en el cerebro o en una computadora cuántica . Una regla, en este sentido, proporciona una correspondencia entre las entradas, las salidas y los estados internos del sistema de computación física. ^{[ 12 ]}

Modelos matemáticos

En la teoría de la computación , se ha desarrollado una diversidad de modelos matemáticos de computación. Los modelos matemáticos típicos de computadoras son los siguientes:

Modelos de estado que incluyen la máquina de Turing , el autómata de pila , el autómata de estados finitos y PRAM.
Modelos funcionales que incluyen el cálculo lambda
Modelos lógicos, incluida la programación lógica.
Modelos concurrentes que incluyen el modelo de actor y el cálculo de procesos.

Giunti denomina a los modelos estudiados por la teoría de la computación sistemas computacionales, y argumenta que todos ellos son sistemas dinámicos matemáticos con tiempo discreto y espacio de estados discreto. ^{[ 13 ]}^{: cap. 1} Sostiene que un sistema computacional es un objeto complejo que consta de tres partes. Primero, un sistema dinámico matemático. $DS$ con tiempo discreto y espacio de estados discreto; segundo, una configuración computacional $H=\left(F,B_{F}\right)$ , que se compone de una parte teórica $F$ y una parte real $B_{F}$ ; tercero, una interpretación $I_{DS,H}$ , que vincula el sistema dinámico $DS$ con la configuración $H$ . ^{[ 14 ]}^{: págs.179–80}

Véase también

Notas

↑ El estudio de las afirmaciones no computables es el campo de la hipercomputación .

Referencias

↑ "Definición de COMPUTACIÓN" . www.merriam-webster.com . 11 de octubre de 2024. Consultado el 12 de octubre de 2024 .
↑ "Cálculo: Definición y sinónimos de Answers.com" . Answers.com . Archivado del original el 22 de febrero de 2009. Consultado el 26 de abril de 2017 .
^ Costurat, Louis (1901). la Logique de Leibniz a'Après des Documents Inédits . París. ISBN 978-0343895099.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
↑ Davis, Martin; Davis, Martin D. (2000). La computadora universal . WW Norton & Company. ISBN 978-0-393-04785-1.
1 2 Davis, Martin (1982-01-01). Computabilidad e insolubilidad . Courier Corporation. ISBN 978-0-486-61471-7.
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↑ Fodor, JA (1986), "El problema mente-cuerpo", Scientific American , 244 (enero de 1986)
↑ Piccinini, Gualtiero (2015). Physical Computation: A Mechanistic Account . Oxford: Oxford University Press. p. 10. ISBN 9780199658855.
↑ Giunti, Marco (1997). Computación, dinámica y cognición . Nueva York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-509009-3.
↑ Giunti, Marco (2017), "¿Qué es una realización física de un sistema computacional?" , Isonomia -- Epistemologica , 9 : 177–92 , ISSN 2037-4348

[8] El estudio de las afirmaciones no computables es el campo de la hipercomputación .

[1] "Definición de COMPUTACIÓN" . www.merriam-webster.com . 11 de octubre de 2024. Consultado el 12 de octubre de 2024 .

[2] "Cálculo: Definición y sinónimos de Answers.com" . Answers.com . Archivado del original el 22 de febrero de 2009. Consultado el 26 de abril de 2017 .

[3] Costurat, Louis (1901). la Logique de Leibniz a'Après des Documents Inédits . París. ISBN 978-0343895099.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[Davis_Davis_2000-4] Davis, Martin; Davis, Martin D. (2000). La computadora universal . WW Norton & Company. ISBN 978-0-393-04785-1.

[Davis-5] 1 2 Davis, Martin (1982-01-01). Computabilidad e insolubilidad . Courier Corporation. ISBN 978-0-486-61471-7.

[6] Turing, AM (1937) [Presentado a la Sociedad en noviembre de 1936]. "Sobre los números computables, con una aplicación al problema de decisión" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 2. Vol. 42. págs. 230–65 . doi : 10.1112/plms/s2-42.1.230 .

[Davis_Davis_2000_p.-7] 1 2 Davis, Martin; Davis, Martin D. (2000). La computadora universal . WW Norton & Company. ISBN 978-0-393-04785-1.

[9] Davis, Martin (2006). "Por qué no existe tal disciplina como la hipercomputación". Matemáticas Aplicadas y Computación . 178 (1): 4– 7. doi : 10.1016/j.amc.2005.09.066 .

[10] Godfrey-Smith, P. (2009), "Argumentos de trivialidad contra el funcionalismo", Philosophical Studies , 145 (2): 273–95 , doi : 10.1007/s11098-008-9231-3 , S2CID 73619367

[11] Piccinini, Gualtiero (2015). Physical Computation: A Mechanistic Account . Oxford: Oxford University Press. p. 18. ISBN 9780199658855.

[12] Fodor, JA (1986), "El problema mente-cuerpo", Scientific American , 244 (enero de 1986)

[13] Piccinini, Gualtiero (2015). Physical Computation: A Mechanistic Account . Oxford: Oxford University Press. p. 10. ISBN 9780199658855.

[14] Giunti, Marco (1997). Computación, dinámica y cognición . Nueva York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-509009-3.

[15] Giunti, Marco (2017), "¿Qué es una realización física de un sistema computacional?" , Isonomia -- Epistemologica , 9 : 177–92 , ISSN 2037-4348

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