transpuesta conjugada

En matemáticas , la transpuesta conjugada , también conocida como transpuesta hermitiana , de una${\displaystyle m\times n}$matriz compleja${\displaystyle \mathbf {A} }$es un${\displaystyle n\times m}$matriz obtenida por transposición${\displaystyle \mathbf {A} }$y aplicando la conjugación compleja a cada entrada (el conjugado complejo de${\displaystyle a+ib}$ser${\displaystyle a-ib}$, para números reales${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$). Existen varias notaciones, como por ejemplo:${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$o${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$, ^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbf {A} '}$, ^{[ 2 ]} o (a menudo en física)${\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }}$.

Para matrices reales , la transpuesta conjugada es simplemente la transpuesta,${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$.

La transpuesta conjugada de una${\displaystyle m\times n}$matriz${\displaystyle \mathbf {A} }$se define formalmente por

donde el subíndice${\displaystyle ij}$denota el${\displaystyle (i,j)}$-ésima entrada (elemento de matriz), para${\displaystyle 1\leq i\leq n}$y${\displaystyle 1\leq j\leq m}$y la barra superior denota un conjugado complejo escalar.

Esta definición también se puede escribir como

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}}}$

dónde${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$denota la transpuesta y${\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}}$denota la matriz con entradas complejas conjugadas.

Otros nombres para la transpuesta conjugada de una matriz son transpuesta hermitiana , conjugada hermitiana , matriz adjunta o transjugada . La transpuesta conjugada de una matriz${\displaystyle \mathbf {A} }$puede representarse mediante cualquiera de estos símbolos:

• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$, comúnmente utilizado en álgebra lineal
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$, comúnmente utilizado en álgebra lineal
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }}$(a veces pronunciado como una daga ), comúnmente utilizado en mecánica cuántica
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{+}}$, aunque este símbolo se usa más comúnmente para la pseudoinversa de Moore-Penrose

En algunos contextos,${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$denota la matriz con solo entradas complejas conjugadas y sin transposición.

Supongamos que queremos calcular la transpuesta conjugada de la siguiente matriz.${\displaystyle \mathbf {A} }$.

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}}$

Primero transponemos la matriz:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}}$

Luego conjugamos cada elemento de la matriz:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}}$

Una matriz cuadrada${\displaystyle \mathbf {A} }$con entradas${\displaystyle a_{ij}}$se llama

• Hermitiano o autoadjunto si${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$; es decir,${\displaystyle a_{ij}={\overline {a_{ji}}}}$.
• Hermitiano asimétrico o antihermitiano si${\displaystyle \mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$; es decir,${\displaystyle a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}$.
• Normal si${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$.
• Unitario si${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{-1}}$, equivalentemente${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {I}}}$, equivalentemente${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ={\boldsymbol {I}}}$.

Incluso si${\displaystyle \mathbf {A} }$no es cuadrado, las dos matrices${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} }$y${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$son matrices hermíticas y, de hecho, semidefinidas positivas .

La matriz "adjunta" transpuesta conjugada${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$no debe confundirse con el adjugado ,${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )}$, que a veces también se denomina adjunto .

La transpuesta conjugada puede motivarse al observar que los números complejos pueden representarse útilmente mediante${\displaystyle 2\times 2}$Matrices reales que cumplen las leyes de la suma y la multiplicación de matrices :$${\displaystyle a+ib\equiv {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.}$$

Es decir, denotando cada número complejo${\displaystyle z}$por el real${\displaystyle 2\times 2}$matriz de la transformación lineal en el diagrama de Argand (visto como el espacio vectorial real )${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$), afectado por complejo${\displaystyle z}$-multiplicación en${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Por lo tanto, un${\displaystyle m\times n}$Una matriz de números complejos podría representarse bien mediante una${\displaystyle 2m\times 2n}$matriz de números reales. La transpuesta conjugada, por lo tanto, surge de forma muy natural como resultado de simplemente transponer dicha matriz, cuando se la vuelve a ver como una${\displaystyle n\times m}$matriz compuesta por números complejos.

Para explicar la notación utilizada aquí, comenzamos representando los números complejos.${\displaystyle e^{i\theta }}$como la matriz de rotación , es decir, $${\displaystyle e^{i\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}=\cos \theta {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+\sin \theta {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$ Desde${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$, nos lleva a las representaciones matriciales de los números de unidad como $${\displaystyle 1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad i={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$

Un número complejo general${\displaystyle z=x+iy}$entonces se representa como${\displaystyle z={\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}.}$ La operación conjugada compleja (que envía${\displaystyle a+bi}$a${\displaystyle a-bi}$verdadero${\displaystyle a,b}$) se codifica como la transpuesta de la matriz. ^{[ 3 ]}

• ${\displaystyle (\mathbf {A} +{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }}$para cualesquiera dos matrices${\displaystyle \mathbf {A} }$y${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$de las mismas dimensiones.
• ${\displaystyle (z\mathbf {A} )^{\mathrm {H} }={\overline {z}}\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$para cualquier número complejo${\displaystyle z}$y cualquier${\displaystyle m\times n}$matriz${\displaystyle \mathbf {A} }$.
• ${\displaystyle (\mathbf {A} {\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$para cualquier${\displaystyle m\times n}$matriz${\displaystyle \mathbf {A} }$y cualquier${\displaystyle n\times p}$matriz${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$. Nótese que el orden de los factores está invertido. ^{[ 1 ]}
• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} }$para cualquier${\displaystyle m\times n}$matriz${\displaystyle \mathbf {A} }$, es decir, la transposición hermitiana es una involución .
• Si${\displaystyle \mathbf {A} }$es una matriz cuadrada, entonces${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\det \left(\mathbf {A} \right)}}}$dónde${\displaystyle \operatorname {det} (A)}$denota el determinante de${\displaystyle \mathbf {A} }$.
• Si${\displaystyle \mathbf {A} }$es una matriz cuadrada, entonces${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\operatorname {tr} (\mathbf {A} )}}}$dónde${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$denota el rastro de${\displaystyle \mathbf {A} }$.
• ${\displaystyle \mathbf {A} }$es invertible si y solo si${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$es invertible, y en ese caso${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\mathrm {H} }}$.
• Los valores propios de${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$son los conjugados complejos de los valores propios de${\displaystyle \mathbf {A} }$.
• ${\displaystyle \left\langle \mathbf {A} x,y\right\rangle _{m}=\left\langle x,\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }y\right\rangle _{n}}$para cualquier${\displaystyle m\times n}$matriz${\displaystyle \mathbf {A} }$, cualquier vector en${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$y cualquier vector${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}$. Aquí,${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}}$denota el producto interno complejo estándar en${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$y de manera similar para${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}}$.

La última propiedad mencionada anteriormente muestra que si uno ve${\displaystyle \mathbf {A} }$como una transformación lineal desde el espacio de Hilbert${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$a${\displaystyle \mathbb {C} ^{m},}$luego la matriz${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$corresponde al operador adjunto de${\displaystyle \mathbf {A} }$El concepto de operadores adjuntos entre espacios de Hilbert puede considerarse, por lo tanto, como una generalización de la transpuesta conjugada de matrices con respecto a una base ortonormal.

Existe otra generalización: supongamos que${\displaystyle A}$es una aplicación lineal de un espacio vectorial complejo${\displaystyle V}$a otro,${\displaystyle W}$, entonces se definen la aplicación lineal conjugada compleja , así como la aplicación lineal transpuesta , y podemos tomar la transpuesta conjugada de${\displaystyle A}$ser el conjugado complejo de la transpuesta de${\displaystyle A}$. Mapea el dual conjugado de${\displaystyle W}$al dual conjugado de${\displaystyle V}$.

• producto escalar complejo
• adjunto hermitiano
• matriz adjugada

• "Matriz adjunta" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]