producto escalar

El producto escalar de dos vectores${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]}$y${\displaystyle \mathbf {b} =[b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}]}$, especificado con respecto a una base ortonormal , se define, en notación de sumatoria , como: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}$$

dónde${\displaystyle n}$es la dimensión del espacio vectorial . Por ejemplo, en el espacio tridimensional , el producto escalar de vectores${\displaystyle [1,3,-5]}$y${\displaystyle [4,-2,-1]}$es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1\times 4)+(3\times -2)+(-5\times -1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}$$

Asimismo, el producto escalar del vector${\displaystyle [1,3,-5]}$con sí mismo es: $${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [1,3,-5]&=(1\times 1)+(3\times 3)+(-5\times -5)\\&=1+9+25\\&=35\end{aligned}}}$$

Si los vectores se identifican con vectores columna , el producto escalar también se puede escribir como un producto matricial.$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {b} ,}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {a} {^{\mathsf {T}}}}$denota la transpuesta de${\displaystyle \mathbf {a} }$.

Expresando el ejemplo anterior de esta manera, una matriz de 1 × 3 ( vector fila ) se multiplica por una matriz de 3 × 1 ( vector columna ) para obtener una matriz de 1 × 1 que se identifica con su entrada única: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}=3\,.}$$

En el espacio euclidiano , un vector euclidiano es un objeto geométrico que posee magnitud y dirección. Un vector puede representarse como una flecha. Su magnitud es su longitud y su dirección es la dirección hacia la que apunta la flecha. La magnitud de un vector${\displaystyle \mathbf {a} }$se denota por${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|}$El producto escalar de dos vectores euclidianos${\displaystyle \mathbf {a} }$y${\displaystyle \mathbf {b} }$se define por ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 1 ]}$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$$ dónde${\displaystyle \theta }$es el ángulo entre${\displaystyle \mathbf {a} }$y${\displaystyle \mathbf {b} }$.

En particular, si los vectores${\displaystyle \mathbf {a} }$y${\displaystyle \mathbf {b} }$son ortogonales (es decir, su ángulo es${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$o${\displaystyle 90^{\circ }}$), entonces${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=0}$, lo que implica que $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0.}$$ En el otro extremo, si son codireccionales , entonces el ángulo entre ellos es cero con${\displaystyle \cos 0=1}$y $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}$$ Esto implica que el producto escalar de un vector${\displaystyle \mathbf {a} }$con sí mismo es $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},}$$ lo cual da $${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}$$ la fórmula para la longitud euclidiana del vector.

La proyección escalar (o componente escalar) de un vector euclidiano.${\displaystyle \mathbf {a} }$en la dirección de un vector euclidiano${\displaystyle \mathbf {b} }$es dado por $${\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}$$ dónde${\displaystyle \theta }$es el ángulo entre${\displaystyle \mathbf {a} }$y${\displaystyle \mathbf {b} }$.

En términos de la definición geométrica del producto escalar, esto se puede reescribir como $${\displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}$$ dónde${\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|}$es el vector unitario en la dirección de${\displaystyle \mathbf {b} }$.

El producto escalar se caracteriza geométricamente por ^{[ 5 ].}$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{b}\left\|\mathbf {b} \right\|=b_{a}\left\|\mathbf {a} \right\|.}$$ El producto escalar, definido de esta manera, es homogéneo bajo escalamiento en cada variable, lo que significa que para cualquier escalar${\displaystyle \alpha }$, $${\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b} ).}$$ También satisface la ley distributiva , lo que significa que $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}$$

Estas propiedades se pueden resumir diciendo que el producto escalar es una forma bilineal . Además, esta forma bilineal es definida positiva , lo que significa que${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }$nunca es negativo, y es cero si y solo si${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$, el vector cero .

Si${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\cdots ,\mathbf {e} _{n}}$son los vectores base estándar en${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$, entonces podemos escribir $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=[a_{1},\dots ,a_{n}]=\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &=[b_{1},\dots ,b_{n}]=\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.\end{aligned}}}$$ Los vectores${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$son una base ortonormal , lo que significa que tienen longitud unitaria y son perpendiculares entre sí. Dado que estos vectores tienen longitud unitaria, $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}$$ y puesto que forman ángulos rectos entre sí, si${\displaystyle i\neq j}$, $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.}$$ Por lo tanto, en general, podemos decir que: $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij},}$$ dónde${\displaystyle \delta _{ij}}$es el delta de Kronecker .

Además, por definición geométrica, para cualquier vector${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$y un vector${\displaystyle \mathbf {a} }$, observamos que $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},}$$ dónde${\displaystyle a_{i}}$es el componente del vector${\displaystyle \mathbf {a} }$en dirección de${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$. El último paso de la igualdad se puede ver en la figura.

Ahora, aplicando la propiedad distributiva de la versión geométrica del producto escalar, obtenemos: $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}=\sum _{i}a_{i}b_{i},}$$ que es precisamente la definición algebraica del producto escalar. Por lo tanto, el producto escalar geométrico es igual al producto escalar algebraico.

Dados dos vectores${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$y${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$separados por ángulo${\displaystyle \theta }$(ver la imagen superior), forman un triángulo con un tercer lado${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }={\color {red}\mathbf {a} }-{\color {blue}\mathbf {b} }}$. Dejar${\displaystyle \color {red}a}$,${\displaystyle \color {blue}b}$y${\displaystyle \color {orange}c}$denotan las longitudes de${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$,${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$, y${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }}$, respectivamente. El producto escalar de${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }}$con sí mismo es: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\color {orange}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\cdot (\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\\&=\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {red}a} +\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {blue}b} \\&={\color {red}a}^{2}-\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\&={\color {red}a}^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\{\color {orange}c}^{2}&={\color {red}a}^{2}+{\color {blue}b}^{2}-2{\color {red}a}{\color {blue}b}\cos \mathbf {\color {purple}\theta } \\\end{aligned}}}$$ que es la ley de los cosenos .

Para vectores con entradas complejas , usar la definición dada del producto escalar daría lugar a propiedades bastante diferentes. Por ejemplo, el producto escalar de un vector consigo mismo podría ser cero sin que el vector sea el vector cero (por ejemplo, esto ocurriría con el vector${\displaystyle \mathbf {a} =[1\ i]}$). Esto a su vez tendría consecuencias para nociones como longitud y ángulo. Propiedades como la norma definida positiva pueden salvarse a costa de renunciar a las propiedades simétricas y bilineales del producto escalar, a través de la definición alternativa ^{[ 12 ] [ 2 ]}$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i}{{a_{i}}\,{\overline {b_{i}}}},}$$ dónde${\displaystyle {\overline {b_{i}}}}$es el conjugado complejo de${\displaystyle b_{i}}$Cuando los vectores se representan mediante vectores columna , el producto escalar se puede expresar como un producto matricial que involucra una transpuesta conjugada , denotada con el superíndice H: $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} ^{\mathsf {H}}\mathbf {a} .}$$

En el caso de vectores con componentes reales, esta definición es la misma que en el caso real. El producto escalar de cualquier vector consigo mismo es un número real no negativo, y es distinto de cero excepto para el vector cero. Sin embargo, el producto escalar complejo es sesquilineal en lugar de bilineal, ya que es lineal conjugado y no lineal en${\displaystyle \mathbf {a} }$El producto escalar no es simétrico, ya que $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\overline {\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }}.}$$ El ángulo entre dos vectores complejos viene dado por $${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\operatorname {Re} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

El producto escalar complejo conduce a las nociones de formas hermíticas y espacios con producto interno general , que se utilizan ampliamente en matemáticas y física .

El producto escalar de un vector complejo consigo mismo${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} ^{\mathsf {H}}\mathbf {a} }$, que involucra la transpuesta conjugada de un vector fila, también se conoce como norma al cuadrado ,${\textstyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\|\mathbf {a} \|^{2}}$, según la norma euclidiana ; es una generalización vectorial del cuadrado absoluto de un escalar complejo (véase también: distancia euclidiana al cuadrado ).

El producto interno generaliza el producto escalar a espacios vectoriales abstractos sobre un cuerpo de escalares , que puede ser el cuerpo de los números reales.${\displaystyle \mathbb {R} }$o el campo de los números complejos${\displaystyle \mathbb {C} }$. Generalmente se denota usando corchetes angulares por${\displaystyle \left\langle \mathbf {a} \,,\mathbf {b} \right\rangle }$.

El producto escalar de dos vectores sobre el cuerpo de los números complejos es, en general, un número complejo, y es sesquilineal en lugar de bilineal. Un espacio vectorial con producto escalar es un espacio vectorial normado , y el producto escalar de un vector consigo mismo es real y definido positivo.

El producto escalar se define para vectores que tienen un número finito de entradas . Por lo tanto, estos vectores pueden considerarse como funciones discretas : una longitud-${\displaystyle n}$vector${\displaystyle u}$es, entonces, una función con dominio${\displaystyle \{k\in \mathbb {N} :1\leq k\leq n\}}$, y${\displaystyle u_{i}}$es una notación para la imagen de${\displaystyle i}$por la función/vector${\displaystyle u}$.

Esta noción puede generalizarse a funciones de cuadrado integrable : así como el producto interno de vectores utiliza una suma sobre los componentes correspondientes, el producto interno de funciones se define como una integral sobre algún espacio de medida.${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle =\int _{X}uv\,{\text{d}}\mu .}$$

Por ejemplo, si${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son funciones continuas sobre un subconjunto compacto${\displaystyle K}$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Con la medida estándar de Lebesgue , la definición anterior se convierte en: $${\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle =\int _{K}f(\mathbf {x} )g(\mathbf {x} )\,\operatorname {d} ^{n}\mathbf {x} .}$$

Generalizado aún más a funciones continuas complejas${\displaystyle \psi }$y${\displaystyle \chi }$, por analogía con el producto interno complejo anterior, se obtiene: $${\displaystyle \left\langle \psi ,\chi \right\rangle =\int _{K}\psi (z){\overline {\chi (z)}}\,{\text{d}}z.}$$

Los productos internos pueden tener una función de ponderación (es decir, una función que pondera cada término del producto interno con un valor). Explícitamente, el producto interno de funciones${\displaystyle u(x)}$y${\displaystyle v(x)}$con respecto a la función de peso${\displaystyle r(x)>0}$es $${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle _{r}=\int _{a}^{b}r(x)u(x)v(x)\,dx.}$$

El producto escalar doble para matrices es el producto interno de Frobenius , que es análogo al producto escalar de vectores. Se define como la suma de los productos de las componentes correspondientes de dos matrices.${\displaystyle \mathbf {A} }$y${\displaystyle \mathbf {B} }$del mismo tamaño: $${\displaystyle \mathbf {A}$$ :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}{\overline {B_{ij}}}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{\mathsf {H}}\mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {H}}).} Y para matrices reales, $${\displaystyle \mathbf {A}$$ :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}})=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}).}

Al escribir una matriz como una diádica , podemos definir un producto escalar doble diferente (ver Diádicas §  Producto de diádica y diádica ), sin embargo, no es un producto interno.

El producto escalar (único) entre un tensor de orden${\displaystyle n}$y un tensor de orden${\displaystyle m}$es un tensor de orden${\displaystyle n+m-2}$(en términos más generales, cada punto reduce el orden en 2), consulte Contracción tensorial para obtener más detalles.

El algoritmo directo para calcular el producto escalar de vectores en coma flotante puede sufrir cancelaciones catastróficas . Para evitarlo, se utilizan métodos como el algoritmo de suma de Kahan .

La función de producto escalar está incluida en:

• BLAS nivel 1 real SDOT, DDOT; complejo CDOTU, ZDOTU = X^T * Y, CDOTC,ZDOTC = X^H * Y
• Fortran como dot_product(A,B)osum(conjg(A) * B)
• Julia como o biblioteca estándar Álgebra lineal como A' * Bdot(A, B)
• R (lenguaje de programación) como sum(A * B)para vectores o, más generalmente para matrices, comoA %*% B
• Matlab como o o o A' * B  conj(transpose(A)) * B  sum(conj(A) .* B)  dot(A, B)
• Python (paquete NumPy ) como o np.dot(A, B)  np.inner(A, B)
• GNU Octave como , y código similar como Matlab sum(conj(X) .* Y, dim)
• Biblioteca del núcleo matemático Intel oneAPI real p?dot dot = sub(x)'*sub(y); complejo p?dotcdotc = conjg(sub(x)')*sub(y)