Ganancia compleja

En electrónica , el concepto de ganancia se refiere a la magnitud en que un sistema eléctrico modifica la señal de entrada. La ganancia compleja describe el efecto que un circuito ejerce no solo sobre la amplitud , sino también sobre la fase de una señal sinusoidal . Dicha señal puede atravesar un circuito eléctrico que aumenta su magnitud y, por ejemplo, variar su duración, o bien, sufrir un desfase intencional mediante componentes eléctricos. El término «complejo» proviene de los números complejos y su utilidad para expresar fenómenos ondulatorios mediante la fórmula de Euler.

Considerando el sistema LTI general ^{[ 1 ]}

${\displaystyle P(D)x=Q(D)f(t)}$

dónde${\displaystyle f(t)}$es la entrada y${\displaystyle P(D),Q(D)}$se dan operadores polinomiales, mientras se supone que${\displaystyle P(s)\neq 0}$. En caso de que${\displaystyle f(r)=F_{0}\cos(\omega t)}$, una solución particular a la ecuación dada es

${\displaystyle x_{p}(t)=\operatorname {Re} {\Big (}F_{0}{\frac {Q(i\omega )}{P(i\omega )}}e^{i\omega t}{\Big )}.}$

Consideremos los siguientes conceptos utilizados principalmente en física y procesamiento de señales .

${\displaystyle \bullet }$La amplitud de la entrada es${\displaystyle F_{0}}$. Tiene las mismas unidades que la cantidad de entrada.

${\displaystyle \bullet }$La frecuencia angular de la entrada es${\displaystyle \omega }$Se mide en radianes/tiempo. A menudo, de forma informal, la denominamos frecuencia, aunque técnicamente debería medirse en ciclos/tiempo.

${\displaystyle \bullet }$La amplitud de la respuesta es${\displaystyle A=F_{0}|Q(i\omega )/P(i\omega )|}$. Tiene las mismas unidades que la cantidad de respuesta.

${\displaystyle \bullet }$La ganancia es${\displaystyle g(\omega )=|Q(i\omega )/P(i\omega )|}$La ganancia es el factor por el cual se multiplica la amplitud de entrada para obtener la amplitud de la respuesta. Tiene las unidades necesarias para la conversión.

unidades de entrada a unidades de salida.

${\displaystyle \bullet }$El desfase es${\displaystyle \phi =-\operatorname {Arg} (Q(i\omega )/P(i\omega ))}$El desfase tiene unidades de radianes, es decir, es adimensional.

${\displaystyle \bullet }$El desfase temporal es${\displaystyle \phi /\omega }$Esto tiene unidades de tiempo. Es el tiempo que el pico de la salida se retrasa con respecto al de la entrada.

${\displaystyle \bullet }$La ganancia compleja es${\displaystyle Q(i\omega )/P(i\omega )}$Este es el factor por el cual se multiplica la entrada compleja para obtener la salida compleja.

Supongamos que un circuito tiene un voltaje de entrada descrito por la ecuación

${\displaystyle V_{i}(t)=1\ V\cdot \sin(\omega \cdot t)}$

donde ω es igual a 2π × 100  Hz, es decir, la señal de entrada es una  onda sinusoidal de 100 Hz con una amplitud de 1 voltio.

Si el circuito es tal que para esta frecuencia duplica la amplitud de la señal y provoca un desfase de 90 grados hacia adelante, entonces su señal de salida puede describirse mediante:

${\displaystyle V_{o}(t)=2\ V\cdot \cos(\omega \cdot t)}$

En notación compleja, estas señales se pueden describir como, para esta frecuencia, j ·1 V y 2 V, respectivamente.

La ganancia compleja G de este circuito se calcula dividiendo la salida entre la entrada:

${\displaystyle G={\frac {2\ V}{j\cdot 1\ V}}=-2j.}$

Este número complejo (sin unidades) incorpora tanto la magnitud del cambio de amplitud (como el valor absoluto ) como el cambio de fase (como el argumento ).