Parámetro de haz complejo

El efecto de la propagación en el espacio libre es simplemente el de añadir la distancia axial recorrida Δ z al parámetro complejo del haz: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle q_{f}=q_{i}+\Delta z}$.

Para haces gaussianos fundamentales astigmáticos simples , ^{[ 3 ]} los parámetros q para los planos tangencial y sagital son independientes . Esto deja de ser cierto si esos planos no coinciden con la dirección principal de la superficie sobre la que incide el haz; ese caso se denomina astigmatismo general . ^{[ 3 ]} Las fórmulas para un ángulo de incidencia θi _se derivaron en el artículo de Massey y Siegman de 1969. ^{[ 4 ]}

Para reflexionar, las matrices ABCD se leen: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{t}&={\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {2}{R_{I}\cos \theta _{i}}}&1\end{pmatrix}},&M_{t}&={\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {2\cos \theta _{i}}{R_{S}}}&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Los correspondientes a la refracción son: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{t}&={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {n_{r}^{2}-\sin ^{2}\theta _{i}}}{n_{r}\cos \theta _{i}}}&0\\{\frac {\cos \theta _{i}-{\sqrt {n_{r}^{2}-\sin ^{2}\theta _{i}}}}{R_{I}\cos \theta _{i}{\sqrt {n_{r}^{2}-\sin ^{2}\theta _{i}}}}}&{\frac {\cos \theta _{i}}{\sqrt {n_{r}^{2}-\sin ^{2}\theta _{i}}}}\end{pmatrix}},&M_{t}&={\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {\cos \theta _{i}-{\sqrt {n_{r}^{2}-\sin ^{2}\theta _{i}}}}{R_{S}n_{r}}}&{1 \over n_{r}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Para hallar el parámetro complejo del haz de un resonador óptico estable , es necesario encontrar la matriz de rayos de la cavidad. Esto se logra trazando la trayectoria del haz dentro de la cavidad. Suponiendo un punto de partida, se halla la matriz que atraviesa la cavidad y regresa hasta que el haz se encuentre en la misma posición y dirección que el punto de partida. Con esta matriz, y haciendo q _i = q _f , se forma una ecuación cuadrática como:

${\displaystyle C{q_{f}}^{2}+(DA)q_{f}-B=0}$.

Resolviendo esta ecuación se obtiene el parámetro del haz para la posición inicial elegida en la cavidad, y mediante la propagación se puede hallar el parámetro del haz para cualquier otra ubicación en la cavidad.