Completando el cuadrado

La fórmula en álgebra elemental para calcular el cuadrado de un binomio es: $${\displaystyle (x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.}$$

Por ejemplo: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}$$

En cualquier cuadrado perfecto, el coeficiente de x es el doble del número p , y el término constante es igual a p ² .

Consideremos el siguiente polinomio cuadrático : $${\displaystyle x^{2}+10x+28.}$$

Esta ecuación cuadrática no es un cuadrado perfecto, ya que 28 no es el cuadrado de 5: $${\displaystyle (x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.}$$

Sin embargo, es posible escribir la ecuación cuadrática original como la suma de este cuadrado y una constante: $${\displaystyle x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.}$$

Esto se llama completar el cuadrado .

Dado cualquier cuadrático mónico$${\displaystyle x^{2}+bx+c,}$$ Es posible formar un cuadrado que tenga los mismos dos primeros términos: $${\displaystyle \left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.}$$

Este cuadrado difiere del cuadrático original solo en el valor del término constante. Por lo tanto, podemos escribir: $${\displaystyle x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,}$$ dónde${\displaystyle k=c-{\frac {b^{2}}{4}}}$Esta operación se conoce como completar el cuadrado . Por ejemplo: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}$$

Dado un polinomio cuadrático de la forma $${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$$ Es posible factorizar el coeficiente a y luego completar el cuadrado para el polinomio mónico resultante .

Ejemplo: $${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3[x^{2}+4x+9]\\&{}=3\left[(x+2)^{2}+5\right]\\&{}=3(x+2)^{2}+3(5)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$$ Este proceso de factorizar el coeficiente a se puede simplificar aún más factorizándolo únicamente en los dos primeros términos. No es necesario incluir el término constante al final del polinomio.

Ejemplo: $${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3\left[x^{2}+4x\right]+27\\[1ex]&{}=3\left[(x+2)^{2}-4\right]+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+3(-4)+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}-12+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$$

Esto permite escribir cualquier polinomio cuadrático en la forma $${\displaystyle a(xh)^{2}+k.}$$

A diferencia de los métodos que implican factorizar la ecuación, que solo son fiables si las raíces son racionales , completar el cuadrado encontrará las raíces de una ecuación cuadrática incluso cuando esas raíces sean irracionales o complejas . Por ejemplo, consideremos la ecuación $${\displaystyle x^{2}-10x+18=0.}$$

Completar el cuadrado da $${\displaystyle (x-5)^{2}-7=0,}$$ entonces $${\displaystyle (x-5)^{2}=7.}$$ Entonces o $${\displaystyle x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{or}}\quad x-5={\sqrt {7}}.}$$

En lenguaje más conciso: $${\displaystyle x-5=\pm {\sqrt {7}},}$$ entonces $${\displaystyle x=5\pm {\sqrt {7}}.}$$

Las ecuaciones con raíces complejas se pueden tratar de la misma manera. Por ejemplo: $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+4x+5&=0\\[6pt](x+2)^{2}+1&=0\\[6pt](x+2)^{2}&=-1\\[6pt]x+2&=\pm i\\[6pt]x&=-2\pm i.\end{aligned}}}$$

Completar el cuadrado puede utilizarse para evaluar cualquier integral de la forma $${\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}$$ utilizando las integrales básicas $${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{and}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.}$$

Por ejemplo, consideremos la integral $${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.}$$

Completando el cuadrado en el denominador se obtiene: $${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.}$$

Esto ahora se puede evaluar utilizando la sustitución u  = x + 3, lo que produce    $${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.}$$

Consideremos la expresión $${\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,}$$ donde z y b son números complejos , z ^* y b ^* son los conjugados complejos de z y b , respectivamente, y c es un número real . Usando la identidad | u | ^² = uu ^* podemos reescribir esto como $${\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,}$$ que es claramente una cantidad real. Esto se debe a que $${\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}}$$

Como otro ejemplo, la expresión $${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,}$$ donde a , b , c , x e y son números reales, con a > 0 y b > 0, se puede expresar en términos del cuadrado del valor absoluto de un número complejo. Definir     $${\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.}$$

Entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\[1ex]&{}=\left({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y\right)\left({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y\right)\\[1ex]&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\[1ex]&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}$$ entonces $${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.}$$

Una matriz M es idempotente cuando M² = M. Las matrices idempotentes generalizan las propiedades ^de idempotencia de 0 y 1. El método de completar el cuadrado para abordar la ecuación $${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$$ muestra que algunas matrices idempotentes de 2×2 están parametrizadas por un círculo en el plano ( a , b ):

La matriz${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$será idempotente siempre que${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$que, al completar el cuadrado, se convierte en $${\displaystyle (a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.}$$ En el plano ( a , b ), esta es la ecuación de un círculo con centro (1/2, 0) y radio 1/2.

Al escribir $${\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}$$ Demostramos que la suma de un número positivo x y su recíproco siempre es mayor o igual que 2. El cuadrado de una expresión real siempre es mayor o igual que cero, lo que da la cota establecida; y aquí obtenemos 2 justo cuando x es 1, lo que hace que el cuadrado se anule.

Consideremos el problema de factorizar el polinomio $${\displaystyle x^{4}+324.}$$

Esto es $${\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2},}$$ Entonces el término central es 2( x ² )(18)  =  36 x ² . Por lo tanto obtenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{a difference of two squares}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}$$ (La última línea se añadió simplemente para seguir la convención de grados decrecientes de los términos).

El mismo argumento demuestra que${\displaystyle x^{4}+4a^{4}}$siempre es factorizable como $${\displaystyle x^{4}+4a^{4}=\left(x^{2}+2ax+2a^{2}\right)\left(x^{2}-2ax+2a^{2}\right)}$$ (También conocida como la identidad de Sophie Germain ).