Suma directa de módulos

En álgebra abstracta , la suma directa es una construcción que combina varios módulos en un módulo nuevo y de mayor tamaño. La suma directa de módulos es el módulo más pequeño que contiene los módulos dados como submódulos sin restricciones "innecesarias", lo que la convierte en un ejemplo de coproducto . En contraste, el producto directo es la noción dual .

Los ejemplos más conocidos de esta construcción se dan al considerar espacios vectoriales (módulos sobre un cuerpo ) y grupos abelianos (módulos sobre el anillo Z de los enteros ). La construcción también puede extenderse para abarcar espacios de Banach y espacios de Hilbert .

Consulte el artículo "Descomposición de un módulo" para ver una forma de escribir un módulo como una suma directa de submódulos.

Construcción para espacios vectoriales y grupos abelianos

Presentamos primero la construcción en estos dos casos, bajo el supuesto de que solo tenemos dos objetos. Luego, generalizamos a una familia arbitraria de módulos arbitrarios. Los elementos clave de la construcción general se identifican con mayor claridad al analizar en profundidad estos dos casos.

Construcción para dos espacios vectoriales

Supongamos que V y W son espacios vectoriales sobre el cuerpo K. El producto cartesiano V × W puede tener la estructura de un espacio vectorial sobre K ( Halmos 1974 , §18) definiendo las operaciones componente a componente:

( v1 , w1 ) ₊( v2 , w2 ₎ = ( v1 + _v2 , w1 ₊w2 )
α ( v , w ) = ( α v , α w )

para v , v ₁ , v ₂ ∈ V , w , w ₁ , w ₂ ∈ W , y α ∈ K .

El espacio vectorial resultante se denomina suma directa de V y W y se suele denotar mediante un símbolo de más dentro de un círculo: $V\oplus W$

Es costumbre escribir los elementos de una suma ordenada no como pares ordenados ( v , w ), sino como una suma v + w .

El subespacio V × {0} de V ⊕ W es isomorfo a V y a menudo se identifica con V ; de forma similar ocurre con {0} × W y W. (Véase la suma directa interna más adelante). Con esta identificación, cada elemento de V ⊕ W puede escribirse de una y solo una manera como la suma de un elemento de V y un elemento de W. La dimensión de V ⊕ W es igual a la suma de las dimensiones de V y W. Un uso elemental es la reconstrucción de un espacio vectorial finito a partir de cualquier subespacio W y su complemento ortogonal: $\mathbb {R} ^{n}=W\oplus W^{\perp }$

Esta construcción se generaliza fácilmente a cualquier número finito de espacios vectoriales.

Construcción para dos grupos abelianos

Para los grupos abelianos G y H que se escriben aditivamente, el producto directo de G y H también se denomina suma directa ( Mac Lane y Birkhoff 1999 , §V.6) . Así, el producto cartesiano G × H se dota de la estructura de un grupo abeliano al definir las operaciones componente a componente:

( g ₁ , h ₁ ) + ( g ₂ , h ₂ ) = ( g ₁ + g ₂ , h ₁ + h ₂ )

para g ₁ , g ₂ en G , y h ₁ , h ₂ en H .

Los múltiplos enteros se definen de manera similar componente a componente mediante

n ( g , h ) = ( ng , nh )

para g en G , h en H y n un entero . Esto es similar a la extensión del producto escalar de espacios vectoriales a la suma directa anterior.

El grupo abeliano resultante se llama suma directa de G y H y generalmente se denota con un símbolo de más dentro de un círculo: $G\oplus H$

Es costumbre escribir los elementos de una suma ordenada no como pares ordenados ( g , h ), sino como una suma g + h .

El subgrupo G × {0} de G ⊕ H es isomorfo a G y a menudo se identifica con G ; de forma similar ocurre con {0} × H y H. (Véase la suma directa interna más adelante). Con esta identificación, es cierto que cada elemento de G ⊕ H puede escribirse de una y solo una manera como la suma de un elemento de G y un elemento de H. El rango de G ⊕ H es igual a la suma de los rangos de G y H.

Esta construcción se generaliza fácilmente a cualquier número finito de grupos abelianos.

Construcción para una familia arbitraria de módulos

Cabe destacar una clara similitud entre las definiciones de suma directa de dos espacios vectoriales y de dos grupos abelianos. De hecho, cada una es un caso particular de la construcción de la suma directa de dos módulos . Además, modificando la definición, se puede incluir la suma directa de una familia infinita de módulos. La definición precisa es la siguiente ( Bourbaki 1989 , §II.1.6) .

Sea R un anillo y { M _i : i ∈ I } una familia de R -módulos izquierdos indexados por el conjunto I . La suma directa de { M _i } se define entonces como el conjunto de todas las secuencias $(\alpha _{i})$ dónde $\alpha _{i}\in M_{i}$ y $\alpha _{i}=0$ para un número cofinito de índices i . (El producto directo es análogo, pero los índices no necesitan ser cofinitos).

También se puede definir como funciones α de I a la unión disjunta de los módulos M _i tales que α( i ) ∈ M _i para todo i ∈ I y α( i ) = 0 para un número cofinito de índices i . Estas funciones pueden considerarse equivalentemente como secciones finitamente soportadas del fibrado sobre el conjunto de índices I , con la fibra sobre $i\in I$ ser $M_{i}$ .

Este conjunto hereda la estructura del módulo mediante la suma componente a componente y la multiplicación escalar. Explícitamente, dos de estas secuencias (o funciones) α y β se pueden sumar escribiendo $(\alpha +\beta )_{i}=\alpha _{i}+\beta _{i}$ para todo i (nótese que esto es nuevamente cero para todos los índices excepto un número finito), y dicha función puede multiplicarse por un elemento r de R definiendo $r(\alpha )_{i}=(r\alpha )_{i}$ para todo i . De esta forma, la suma directa se convierte en un R -módulo izquierdo, y se denota $\bigoplus _{i\in I}M_{i}.$

Es costumbre escribir la secuencia $(\alpha _{i})$ como suma $\sum \alpha _{i}$ . A veces una suma con prima $\sum '\alpha _{i}$ se utiliza para indicar que un número finito de términos son cero.

Propiedades

La suma directa es un submódulo del producto directo de los módulos M _i ( Bourbaki 1989 , §II.1.7) . El producto directo es el conjunto de todas las funciones α de I a la unión disjunta de los módulos M _i con α ( i )∈ M _i , pero no necesariamente nula para todos los i excepto para un número finito de ellos . Si el conjunto de índices I es finito, entonces la suma directa y el producto directo son iguales.
Cada uno de los módulos M _i puede identificarse con el submódulo de la suma directa que consta de aquellas funciones que se anulan en todos los índices distintos de i . Con estas identificaciones, cada elemento x de la suma directa puede escribirse de una y solo una manera como una suma de un número finito de elementos de los módulos M _i .
Si los M _i son en realidad espacios vectoriales, entonces la dimensión de la suma directa es igual a la suma de las dimensiones de los M _i . Lo mismo es cierto para el rango de los grupos abelianos y la longitud de los módulos .
Todo espacio vectorial sobre el cuerpo K es isomorfo a una suma directa de suficientes copias de K , por lo que, en cierto sentido, solo es necesario considerar estas sumas directas. Esto no se cumple para módulos sobre anillos arbitrarios.
El producto tensorial se distribuye sobre sumas directas en el siguiente sentido: si N es algún R -módulo derecho, entonces la suma directa de los productos tensoriales de N con M _i (que son grupos abelianos) es naturalmente isomorfa al producto tensorial de N con la suma directa de los M _i .
Las sumas directas son conmutativas y asociativas (salvo isomorfismo), lo que significa que no importa en qué orden se forme la suma directa.
El grupo abeliano de homomorfismos lineales sobre R de la suma directa a algún módulo izquierdo sobre R L es naturalmente isomorfo al producto directo de los grupos abelianos de homomorfismos lineales sobre R de M _i a L : $\operatorname {Hom} _{R}{\biggl (}\bigoplus _{i\in I}M_{i},L{\biggr )}\cong \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} _{R}\left(M_{i},L\right).$ En efecto, existe claramente un homomorfismo τ del lado izquierdo al lado derecho, donde τ ( θ )( i ) es el homomorfismo R -lineal que envía x ∈ M _i a θ ( x ) (utilizando la inclusión natural de M _i en la suma directa). El inverso del homomorfismo τ se define por $\tau ^{-1}(\beta )(\alpha )=\sum _{i\in I}\beta (i)(\alpha (i))$ para cualquier α en la suma directa de los módulos M _i . El punto clave es que la definición de τ ⁻¹ tiene sentido porque α ( i ) es cero para todos los i excepto para un número finito de ellos , y por lo tanto la suma es finita.
En particular, el espacio vectorial dual de una suma directa de espacios vectoriales es isomorfo al producto directo de los duales de esos espacios.
La suma directa finita de módulos es un biproducto : Si $p_{k}:A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}\to A_{k}$ son las proyecciones canónicas y $i_{k}:A_{k}\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}$ son los mapeos de inclusión, entonces $i_{1}\circ p_{1}+\cdots +i_{n}\circ p_{n}$ es igual al morfismo identidad de A ₁ ⊕ ⋯ ⊕ A _n , y $p_{k}\circ i_{l}$ es el morfismo identidad de A _k en el caso l = k , y es el mapa cero en caso contrario.

Suma directa interna

Supongamos que M es un R -módulo y M _i es un submódulo de M para cada i en I. Si cada x en M puede escribirse de una sola manera como suma de un número finito de elementos de M _i , entonces decimos que M es la suma directa interna de los submódulos M _i ( Halmos 1974 , §18) . En este caso, M es naturalmente isomorfo a la suma directa (externa) de M _i definida anteriormente ( Adamson 1972 , p. 61) .

Un submódulo N de M es un sumando directo de M si existe algún otro submódulo N′ de M tal que M es la suma directa interna de N y N′ . En este caso, N y N′ se denominan submódulos complementarios .

Propiedad universal

En el lenguaje de la teoría de categorías , la suma directa es un coproducto y, por lo tanto, un colímite en la categoría de R -módulos izquierdos, lo que significa que se caracteriza por la siguiente propiedad universal . Para cada i en I , consideremos la incrustación natural.

j_{i}:M_{i}\rightarrow \bigoplus _{i\in I}M_{i}

que envía los elementos de M _i a aquellas funciones que son cero para todos los argumentos excepto i . Ahora sea M un R- módulo arbitrario y f _i : M _i → M aplicaciones R -lineales arbitrarias para cada i , entonces existe precisamente una aplicación R -lineal.

f:\bigoplus _{i\in I}M_{i}\rightarrow M

de tal manera que f o j _i = f _i para todo i .

Grupo Grothendieck

La suma directa confiere a una colección de objetos la estructura de un monoide conmutativo , ya que la suma de objetos está definida, pero no la resta. De hecho, la resta puede definirse, y todo monoide conmutativo puede extenderse a un grupo abeliano . Esta extensión se conoce como el grupo de Grothendieck . La extensión se realiza definiendo clases de equivalencia de pares de objetos, lo que permite tratar ciertos pares como inversos. La construcción, detallada en el artículo sobre el grupo de Grothendieck, es universal, puesto que posee la propiedad universal de ser única y homomorfa a cualquier otra incrustación de un monoide conmutativo en un grupo abeliano.

Suma directa de módulos con estructura adicional

Si los módulos que estamos considerando poseen alguna estructura adicional (por ejemplo, una norma o un producto interno ), entonces la suma directa de los módulos a menudo también puede incorporar esta estructura adicional. En este caso, obtenemos el coproducto en la categoría apropiada de todos los objetos que poseen la estructura adicional. Dos ejemplos destacados se dan en los espacios de Banach y los espacios de Hilbert .

Lo que en algunos textos clásicos ^{[ 1 ]} se llama una "suma directa" de álgebras sobre un cuerpo ahora se llama un producto directo de álgebras; consulte el artículo sobre producto directo para obtener información sobre estos.

Suma directa de espacios de Banach

La suma directa de dos espacios de Banach $X$ y $Y$ es la suma directa de $X$ y $Y$ considerados como espacios vectoriales, con la norma $\|(x,y)\|=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}$ a pesar de $x\in X$ y $y\in Y.$

Generalmente, si $X_{i}$ es una colección de espacios Banach, donde $i$ recorre el conjunto de índices $I,$ entonces la suma directa $\bigoplus _{i\in I}X_{i}$ es un módulo que consta de todas las funciones $x$ definido sobre $I$ de tal manera que $x(i)\in X_{i}$ a pesar de $i\in I$ y $\sum _{i\in I}\|x(i)\|_{X_{i}}<\infty .$

La norma viene dada por la suma anterior. La suma directa con esta norma es, de nuevo, un espacio de Banach.

Por ejemplo, si tomamos el conjunto de índices $I=\mathbb {N}$ y $X_{i}=\mathbb {R} ,$ entonces la suma directa $\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}$ es el espacio $\ell _{1},$ que consta de todas las secuencias $\left(a_{i}\right)$ de números reales con norma finita ${\textstyle \|a\|=\sum _{i}\left|a_{i}\right|.}$

Un subespacio cerrado $A$ de un espacio Banach $X$ se complementa si hay otro subespacio cerrado $B$ de $X$ de tal manera que $X$ es igual a la suma directa interna $A\oplus B.$ Tenga en cuenta que no todos los subespacios cerrados se complementan; por ejemplo $c_{0}$ no se complementa en $\ell ^{\infty }.$

Suma directa de módulos con formas bilineales

Dejar $\left\{\left(M_{i},b_{i}\right):i\in I\right\}$ ser una familia indexada por $I$ de módulos equipados con formas bilineales . La suma directa ortogonal es la suma directa del módulo con forma bilineal. $B$ definido por ^{[ 2 ]} $B\left({\left({x_{i}}\right),\left({y_{i}}\right)}\right)=\sum _{i\in I}b_{i}\left({x_{i},y_{i}}\right)$ en la que la suma tiene sentido incluso para conjuntos de índices infinitos $I$ porque solo un número finito de términos son distintos de cero.

Suma directa de espacios de Hilbert

Si hay un número finito de espacios de Hilbert $H_{1},\ldots ,H_{n}$ Dados, se puede construir su suma directa ortogonal como se indicó anteriormente (ya que son espacios vectoriales), definiendo el producto interno como: $\left\langle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\right\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle +\cdots +\langle x_{n},y_{n}\rangle .$

La suma directa resultante es un espacio de Hilbert que contiene los espacios de Hilbert dados como subespacios mutuamente ortogonales .

Si hay infinitos espacios de Hilbert $H_{i}$ para $i\in I$ Dados, podemos realizar la misma construcción; observe que al definir el producto interno, solo un número finito de sumandos serán distintos de cero. Sin embargo, el resultado será solo un espacio con producto interno y no necesariamente será completo . A continuación, definimos la suma directa de los espacios de Hilbert. $H_{i}$ ser la culminación de este espacio de producto interno.

Alternativamente y de forma equivalente, se puede definir la suma directa de los espacios de Hilbert. $H_{i}$ como el espacio de todas las funciones α con dominio $I,$ de tal manera que $\alpha (i)$ es un elemento de $H_{i}$ por cada $i\in I$ y: $\sum _{i}\left\|\alpha _{(i)}\right\|^{2}<\infty .$

El producto interno de dos funciones de este tipo, α y β, se define entonces como: $\langle \alpha ,\beta \rangle =\sum _{i}\langle \alpha _{i},\beta _{i}\rangle .$

Este espacio está completo y obtenemos un espacio Hilbert.

Por ejemplo, si tomamos el conjunto de índices $I=\mathbb {N}$ y $X_{i}=\mathbb {R} ,$ entonces la suma directa $\oplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}$ es el espacio $\ell _{2},$ que consta de todas las secuencias $\left(a_{i}\right)$ de números reales con norma finita ${\textstyle \|a\|={\sqrt {\sum _{i}\left\|a_{i}\right\|^{2}}}.}$ Al comparar esto con el ejemplo de los espacios de Banach , vemos que la suma directa en un espacio de Banach y la suma directa en un espacio de Hilbert no son necesariamente iguales. Sin embargo, si solo hay un número finito de sumandos, entonces la suma directa en un espacio de Banach es isomorfa a la suma directa en un espacio de Hilbert, aunque la norma será diferente.

Todo espacio de Hilbert es isomorfo a una suma directa de suficientes copias del cuerpo base, que es o bien $\mathbb {R} {\text{ or }}\mathbb {C} .$ Esto equivale a afirmar que todo espacio de Hilbert tiene una base ortonormal. De forma más general, todo subespacio cerrado de un espacio de Hilbert es complementado porque admite un complemento ortogonal . Por el contrario, el teorema de Lindenstrauss-Tzafriri afirma que si todo subespacio cerrado de un espacio de Banach es complementado, entonces el espacio de Banach es isomorfo (topológicamente) a un espacio de Hilbert.

Véase también

Subproducto – Objeto que es a la vez producto y coproducto
Módulo indescomponible
Teorema de Jordan-Hölder : Descomposición de una estructura algebraica. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento.
Teorema de Krull-Schmidt – Teorema matemático
Sucesión exacta dividida : un tipo de sucesión exacta corta en matemáticas.

Referencias

↑ Wedderburn , JHM (1934). Lecciones sobre matrices . Sociedad Matemática Americana. pág. 151.
^ Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . vol. 73. Springer-Verlag . págs. 4 y 5. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 .

Adamson, Iain T. (1972), Anillos y módulos elementales , Textos matemáticos universitarios, Oliver and Boyd, ISBN 0-05-002192-3.
Bourbaki, Nicolas (1989), Elementos de matemáticas, Álgebra I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1991), Álgebra abstracta , Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, Inc., ISBN 0-13-004771-6.
Halmos, Paul (1974), Espacios vectoriales de dimensión finita , Springer, ISBN 0-387-90093-4
Mac Lane, S.; Birkhoff , G. (1999), Álgebra , AMS Chelsea, ISBN 0-8218-1646-2.

[1] Wedderburn , JHM (1934). Lecciones sobre matrices . Sociedad Matemática Americana. pág. 151.

[2] Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . vol. 73. Springer-Verlag . págs. 4 y 5. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 .

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