Comovimiento y distancias adecuadas

La distancia comóvil desde un observador a un objeto distante (por ejemplo, una galaxia) se puede calcular mediante la siguiente fórmula (derivada utilizando la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker ): $${\displaystyle \chi =\int _{t_{e}}^{t}c\;{\frac {\mathrm {d} t'}{a(t')}}}$$ donde a ( t ′ ) es el factor de escala , t _e es el tiempo de emisión de los fotones detectados por el observador, t es el tiempo presente y c es la velocidad de la luz en el vacío.

A pesar de ser una integral en el tiempo , esta expresión proporciona la distancia correcta que mediría un conjunto de reglas locales comóviles en un instante fijo t , es decir, la "distancia propia" (como se define más adelante) después de tener en cuenta la velocidad de la luz comóvil dependiente del tiempo mediante el término del factor de escala inverso.${\displaystyle 1/a(t')}$en el integrando. Por "velocidad de la luz comóvil" entendemos la velocidad de la luz a través de coordenadas comóviles [${\displaystyle c/a(t')}$] que depende del tiempo aunque localmente , en cualquier punto a lo largo de la geodésica nula de las partículas de luz, un observador en un marco inercial siempre mide la velocidad de la luz como${\displaystyle c}$de acuerdo con la relatividad especial. Para una derivación, véase el "Apéndice A: Definiciones relativistas generales estándar de expansión y horizontes" de Davis y Lineweaver 2004. ^{[ 3 ]} En particular, véanse las ecuaciones 16-22 en el artículo de 2004 citado [nota: en ese artículo el factor de escala${\displaystyle R(t')}$se define como una cantidad con la dimensión de distancia, mientras que la coordenada radial${\displaystyle \chi }$es adimensional].

Muchos libros de texto utilizan el símbolo${\displaystyle \chi }$para la distancia comóvil. Sin embargo, esto${\displaystyle \chi }$debe distinguirse de la distancia de coordenadas${\displaystyle r}$en el sistema de coordenadas comóviles comúnmente utilizado para un universo FLRW donde la métrica toma la forma (en coordenadas polares de circunferencia reducida, que solo funciona a la mitad de un universo esférico): $${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}\,d\tau ^{2}=-c^{2}\,dt^{2}+a(t)^{2}\left({\frac {dr^{2}}{1-\kappa r^{2}}}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)\right).}$$

En este caso, la distancia de coordenadas comóviles${\displaystyle r}$está relacionado con${\displaystyle \chi }$por: ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}$${\displaystyle \chi ={\begin{cases}|\kappa |^{-1/2}\sinh ^{-1}{\sqrt {|\kappa |}}r,&{\text{si }}\kappa <0\ {\text{(un universo 'hiperbólico' con curvatura negativa)}}\\r,&{\text{si }}\kappa =0\ {\text{(un universo espacialmente plano)}}\\|\kappa |^{-1/2}\sin ^{-1}{\sqrt {|\kappa |}}r,&{\text{si }}\kappa >0\ {\text{(un universo 'esférico' con curvatura positiva)}}\end{cases}}}$$

La mayoría de los libros de texto y artículos de investigación definen la distancia comóvil entre observadores comóviles como una cantidad fija e inmutable independiente del tiempo, mientras que llaman a la distancia dinámica y cambiante entre ellos "distancia propia". Según este uso, las distancias comóviles y propias son numéricamente iguales en la edad actual del universo , pero diferirán en el pasado y en el futuro; si la distancia comóvil a una galaxia se denota${\displaystyle \chi }$la distancia adecuada${\displaystyle d(t)}$en un momento arbitrario${\displaystyle t}$simplemente se da por $${\displaystyle d(t)=a(t)\chi }$$ dónde${\displaystyle a(t)}$es el factor de escala (por ejemplo, Davis y Lineweaver 2004). ^{[ 3 ]} La distancia propia${\displaystyle d(t)}$La distancia entre dos galaxias en el instante t es simplemente la distancia que se mediría con reglas entre ellas en ese momento. ^{[ 6 ]}

El tiempo cosmológico es idéntico al tiempo medido localmente para un observador en una posición espacial comóvil fija, es decir, en el sistema de referencia comóvil local . La distancia propia también es igual a la distancia medida localmente en el sistema de referencia comóvil para objetos cercanos. Para medir la distancia propia entre dos objetos distantes, se imagina que hay muchos observadores comóviles en línea recta entre los dos objetos, de modo que todos los observadores estén cerca unos de otros y formen una cadena entre los dos objetos distantes. Todos estos observadores deben tener el mismo tiempo cosmológico. Cada observador mide su distancia al observador más cercano en la cadena, y la longitud de la cadena, la suma de las distancias entre los observadores cercanos, es la distancia propia total. ^{[ 10 ]}

Para la definición tanto de distancia comóvil como de distancia propia en el sentido cosmológico (a diferencia de la longitud propia en la relatividad especial ), es importante que todos los observadores tengan la misma edad cosmológica. Por ejemplo, si se midiera la distancia a lo largo de una línea recta o una geodésica espacial entre dos puntos, los observadores situados entre ellos tendrían edades cosmológicas diferentes cuando la geodésica cruzara sus respectivas líneas de universo . Por lo tanto, al calcular la distancia a lo largo de esta geodésica, no se estaría midiendo correctamente ni la distancia comóvil ni la distancia propia cosmológica. Las distancias comóvil y propia no son el mismo concepto de distancia que el de la relatividad especial. Esto se puede apreciar al considerar el caso hipotético de un universo sin masa, donde ambos tipos de distancia pueden medirse. Cuando la densidad de masa en la métrica FLRW se establece en cero (un ' universo Milne ' vacío), entonces el sistema de coordenadas cosmológicas utilizado para escribir esta métrica se convierte en un sistema de coordenadas no inercial en el espaciotiempo de Minkowski de la relatividad especial donde las superficies de tiempo propio de Minkowski constante τ aparecen como hipérbolas en el diagrama de Minkowski desde la perspectiva de un marco de referencia inercial . ^{[ 11 ]} En este caso, para dos eventos que son simultáneos según la coordenada de tiempo cosmológica, el valor de la distancia propia cosmológica no es igual al valor de la longitud propia entre estos mismos eventos, ^{[ 12 ]} que sería simplemente la distancia a lo largo de una línea recta entre los eventos en un diagrama de Minkowski (y una línea recta es una geodésica en el espaciotiempo plano de Minkowski), o la distancia de coordenadas entre los eventos en el marco inercial donde son simultáneos .

Si se divide un cambio en la distancia propia por el intervalo de tiempo cosmológico en el que se midió el cambio (o se toma la derivada de la distancia propia con respecto al tiempo cosmológico) y se denomina a esto "velocidad", entonces las "velocidades" resultantes de galaxias o cuásares pueden ser superiores a la velocidad de la luz, c . Esta expansión superlumínica no entra en conflicto con la relatividad especial o general ni con las definiciones utilizadas en cosmología física . Incluso la luz misma no tiene una "velocidad" de c en este sentido; la velocidad total de cualquier objeto puede expresarse como la suma${\displaystyle v_{\text{tot}}=v_{\text{rec}}+v_{\text{pec}}}$dónde${\displaystyle v_{\text{rec}}}$es la velocidad de recesión debida a la expansión del universo (la velocidad dada por la ley de Hubble ) y${\displaystyle v_{\text{pec}}}$es la "velocidad peculiar" medida por observadores locales (con${\displaystyle v_{\text{rec}}={\dot {a}}(t)\chi (t)}$y${\displaystyle v_{\text{pec}}=a(t){\dot {\chi }}(t)}$, los puntos indican una primera derivada ), así que para la luz${\displaystyle v_{\text{pec}}}$es igual a c (− c si la luz se emite hacia nuestra posición en el origen y + c si se emite alejándose de nosotros), pero la velocidad total${\displaystyle v_{\text{tot}}}$es generalmente diferente de c . ^{[ 3 ]} Incluso en la relatividad especial, la velocidad de la luz en coordenadas solo está garantizada para ser c en un marco inercial ; en un marco no inercial, la velocidad en coordenadas puede ser diferente de c . ^{[ 13 ]} En la relatividad general, ningún sistema de coordenadas en una gran región del espaciotiempo curvo es "inercial", pero en la vecindad local de cualquier punto en el espaciotiempo curvo podemos definir un "marco inercial local" en el que la velocidad local de la luz es c ^{[ 14 ]} y en el que los objetos masivos como las estrellas y las galaxias siempre tienen una velocidad local menor que c . Las definiciones cosmológicas utilizadas para definir las velocidades de los objetos distantes dependen de las coordenadas; no existe una definición general independiente de las coordenadas de la velocidad entre objetos distantes en la relatividad general. ^{[ 15 ]} Cómo describir y popularizar mejor que la expansión del universo es (o al menos fue) muy probablemente procediendo , a la mayor escala , por encima de la velocidad de la luz, ha causado una pequeña controversia. Un punto de vista se presenta en Davis y Lineweaver, 2004. ^{[ 3 ]} 

En distancias cortas y trayectos breves, la expansión del universo durante el viaje puede ignorarse. Esto se debe a que el tiempo de viaje entre dos puntos cualesquiera para una partícula en movimiento no relativista será simplemente la distancia propia (es decir, la distancia comóvil medida utilizando el factor de escala del universo en el momento del viaje, en lugar del factor de escala actual) entre esos puntos, dividida por la velocidad de la partícula. Si la partícula se mueve a velocidad relativista, deben aplicarse las correcciones relativistas habituales para la dilatación del tiempo .