monotonicidad de la casa

La monotonicidad de la cámara ^{[ 1 ]}^{: 134-141} (también llamada monotonicidad del tamaño de la cámara ^{[ 2 ]} ) es una propiedad de los métodos de distribución . Estos son métodos para asignar escaños en un parlamento entre estados federales (o entre partidos políticos ). La propiedad establece que, si el número de escaños en la "cámara" (el parlamento) aumenta y se reactiva el método, entonces ningún estado (o partido) debería tener menos escaños que antes. Se dice que un método que no satisface la monotonicidad de la cámara tiene la paradoja de Alabama .

En el contexto de las elecciones de comités , la monotonicidad de la cámara se suele denominar monotonicidad del comité . Esto significa que, si aumenta el tamaño del comité, todos los candidatos que fueron elegidos previamente siguen siendo elegidos.

La monotonicidad de la casa es un caso especial de monotonicidad de recursos para el contexto en el que el recurso consiste en elementos discretos idénticos (los asientos).

Métodos que violan la monotonicidad de la casa

Un ejemplo de un método que viola la monotonicidad de House es el método del resto mayor (= método de Hamilton). Considere el siguiente caso con tres estados:

Cuando se añade un escaño a la cámara, la proporción del estado C disminuye de 2 a 1.

Esto ocurre porque aumentar el número de escaños incrementa la participación justa más rápidamente para los estados grandes que para los pequeños. En particular, los estados grandes A y B vieron aumentar su participación justa más rápidamente que el pequeño C. Por lo tanto, las fracciones de A y B aumentaron más rápido que las de C. De hecho, superaron la fracción de C, lo que provocó que C perdiera su escaño, ya que el método examina qué estados tienen la mayor fracción restante.

Esta violación se conoce como la paradoja de Alabama debido a la historia de su descubrimiento. Después del censo de 1880 , C. W. Seaton, jefe de la Oficina del Censo de los Estados Unidos , calculó las asignaciones para todos los tamaños de la Cámara de Representantes entre 275 y 350, y descubrió que Alabama obtendría ocho escaños con un tamaño de Cámara de 299, pero solo siete con un tamaño de Cámara de 300. ^{[ 3 ]}^{: 228–231}

Métodos que satisfacen la monotonicidad de la casa

Métodos de reparto

Todos los métodos de promedios más altos (= métodos divisores) satisfacen la monotonicidad de la casa. ^{[ 1 ]}^{: Cor.4.3.1} Esto es fácil de ver cuando se considera la implementación de los métodos divisores como secuencias de selección: cuando se agrega un asiento, el único cambio es que la secuencia de selección se extiende con una selección adicional. Por lo tanto, todos los estados mantienen sus asientos previamente seleccionados. De manera similar, los métodos de índice de rango , que son generalizaciones de los métodos divisores, satisfacen la monotonicidad de la casa.

Además, los métodos de divisores limitados , que son variantes de los métodos de divisores en los que un estado nunca obtiene más escaños que su cuota máxima, también satisfacen la monotonicidad de la casa. Un ejemplo es el método de cuotas de Balinsky - Young . ^{[ 4 ]}

Cada método monótono de casas puede definirse como una función recursiva del tamaño de la casa h . ^{[ 1 ]}^{: Teorema 7.2} Formalmente, un método de reparto $M(\mathbf {t} ,h)$ es monótono para la casa y satisface ambas cuotas si y solo si se construye recursivamente de la siguiente manera (consulte las matemáticas de la asignación para las definiciones y la notación):

$M(\mathbf {t} ,0)=0$ ;
Si $M(\mathbf {t} ,h)=\mathbf {a}$ $M(\mathbf {t} ,h)=\mathbf {a}$ , entonces $M(\mathbf {t} ,h+1)$ $M(\mathbf {t} ,h+1)$ se encuentra dando $a_{i}+1$ $a_{i}+1$ escaños para algún estado único $i\in U(\mathbf {t} ,\mathbf {a} )\cap L(\mathbf {t} ,\mathbf {a} )$ $i\in U(\mathbf {t} ,\mathbf {a} )\cap L(\mathbf {t} ,\mathbf {a} )$ , dónde:
- $U(\mathbf {t} ,\mathbf {a} )$ es el conjunto de estados que pueden obtener un escaño adicional sin violar su cuota máxima para el nuevo tamaño de la cámara;
- $L(\mathbf {t} ,\mathbf {a} )$ es el conjunto de estados que podrían recibir menos de su cuota mínima para algún tamaño de vivienda futuro.

Todo método de reparto coherente es monótono de casa. ^{[ 2 ]}^{: Sub.9.5}

Métodos para la votación con múltiples ganadores

Las reglas de votación secuenciales de Phragmen , tanto para las papeletas de aprobación como para las papeletas clasificadas, son monótonas respecto del comité. Lo mismo ocurre con el método de adición de Thiele y el método de eliminación de Thiele. Sin embargo, el método de optimización de Thiele no es monótono respecto del comité. ^{[ 5 ]}^{: Sec.5}

Véase también

Monotonicidad de recursos : una generalización de la monotonicidad de la casa a elementos posiblemente diferentes.
Criterio de monotonicidad : un criterio diferente, utilizado para sistemas de votación por orden de preferencia.

Referencias

1 2 3 Balinski, Michel L.; Young, H. Peyton (1982). Representación justa: Cumpliendo el ideal de un hombre, un voto . New Haven: Yale University Press. ISBN 0-300-02724-9.
1 2 Pukelsheim, Friedrich (2017), "Garantizando la consistencia del sistema: coherencia y paradojas" , en Pukelsheim, Friedrich (ed.), Representación proporcional: métodos de asignación y sus aplicaciones , Cham: Springer International Publishing, pp. 159–183 , doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_9 , ISBN 978-3-319-64707-4, consultado el 2 de septiembre de 2021
↑ Stein, James D. (2008). Cómo las matemáticas explican el mundo: Una guía al poder de los números, desde la reparación de automóviles hasta la física moderna . Nueva York: Smithsonian Books. ISBN 9780061241765.
↑ Balinski, ML; Young, HP (1975-08-01). "El método de cuotas de reparto" . The American Mathematical Monthly . 82 (7): 701– 730. doi : 10.1080/00029890.1975.11993911 . ISSN 0002-9890 .
↑ Janson, Svante (2018-10-12). "Métodos de elección de Phragmen y Thiele". arXiv : 1611.08826 [ math.HO ].

[:0-1] 1 2 3 Balinski, Michel L.; Young, H. Peyton (1982). Representación justa: Cumpliendo el ideal de un hombre, un voto . New Haven: Yale University Press. ISBN 0-300-02724-9.

[:1-2] 1 2 Pukelsheim, Friedrich (2017), "Garantizando la consistencia del sistema: coherencia y paradojas" , en Pukelsheim, Friedrich (ed.), Representación proporcional: métodos de asignación y sus aplicaciones , Cham: Springer International Publishing, pp. 159–183 , doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_9 , ISBN 978-3-319-64707-4, consultado el 2 de septiembre de 2021

[Stein2008-3] Stein, James D. (2008). Cómo las matemáticas explican el mundo: Una guía al poder de los números, desde la reparación de automóviles hasta la física moderna . Nueva York: Smithsonian Books. ISBN 9780061241765.

[4] Balinski, ML; Young, HP (1975-08-01). "El método de cuotas de reparto" . The American Mathematical Monthly . 82 (7): 701– 730. doi : 10.1080/00029890.1975.11993911 . ISSN 0002-9890 .

[:02-5] Janson, Svante (2018-10-12). "Métodos de elección de Phragmen y Thiele". arXiv : 1611.08826 [ math.HO ].

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